Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 30

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 118 >> Следующая

§ 4. Примеры
В этом параграфе мы проиллюстрируем технику работы с компактными уравнениями на двух примерах.
Рассеяние на неподвижном центре. Рассмотрим систему, в которой масса одной из частиц бесконечна, а две легкие частицы между собой не взаимодействуют. Для определенности рассмотрим случай т3 = о°, у12 = 0. Из формул (1.9) вытекает тогда, что к{ = р2, к2~Р1. В этом случае переменные в уравнении Шредингера разделяются и соответствующие волновые функции и операторы рассеяния явно выражаются в двухчастичных терминах. Предположим, ради простоты, что двухчастичные подсистемы (13) и (23) не имеют связанных состояний. Тогда существует только один волновой оператор и0, ядро которого равно произведению двухчастичных волновых операторов
и[±} (Р, р') = «?> (ки кд {к к'2\ (3.73)
где
?) - а- &) -'«{кк? %к1 * ю)- 0.73')
Соответственно, оператор рассеяния также факторизуется: 500 (р* р') = «1 (Аи к[) з2 (к21 к'2\ (3.74)
где операторы рассеяния для подсистем даются ра-
§ 4. ПРИМЕРЫ 101
венством
% {ка1 к'а) = б (Лга — к'а) — 2Ш8 (Л? — к'2) X
ХЪ{ка,к'а%ка2 + Ю). (3.74')
Подставляя в (3,73) и (3.74) формулы (3.730 и (3.740, придем к соотношениям
р'> - в (р - р'> - 2 Ч^'У*/* х
а *а ~ Аа ~ г0
уйГп ~м , V *«(*«' *«' *«' ± *°)*р(V *'р> *р* ± *°)
(3.75)
и к аналогичным формулам для оператора рассеяния
— 2я* 2 *а (&а, &а, *а ± *"0) б (Ра —Ра) б — &а) — а
- 2 4Я»6 (А| - Ф б (Р - Р'2) 1а (ка, к*, С + Ю) X
Х*р(%4Лр' + 40), (3.70)
где в силу р\ = к\ и />12 = к'% справедливо Р2 = /с2 + /с?,
Р'2 = ^2 + ^2-
Посмотрим на эти формулы с точки зрения соотношений, полученных на основе компактных уравнений (3.29). Три первых слагаемых легко идентифицируются с аналогичными членами в соотношениях (3.63') и (3.72), которые отвечают ядрам Та(Р, Р\ z). Однако квадратичные по парным Г-матрицам члены (3.75) и (3.76) не совпадают по форме с аналогичными слагаемыми в этих соотношениях. На первый взгляд, существование 6-функ-
ции б(/с| — к$ ) в квадратичном слагаемом (3.76) противоречит даже условию компактности интегральных уравнений (3.29), так как, по доказанному, их итерации не имеют б-функционных особенностей, и значит, они не могут компенсировать появившуюся сингулярность. Однако более тщательный анализ показывает, что б-функ-ционная особенность возникает при сложении ядер (2^1 и (?2°Л отличающихся порядком индексов.
102
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Действительно, заметим сначала, что зависимость неременных в сингулярном знаменателе и в аргументах Г-матриц из (3.31) упрощается в силу предположения о бесконечности массы третьей частицы. Справедливы следующие соотношения:
К (Ри Ра) = кг = Л, Р2. = *1 + к1, (г т
7 / ' \ т Т1/ 2 7 '2 7 ,2 \ * /
К \Рц Р*) = Л, &2 = Л» ^ = *1 + К -
В результате произведения Г-матриц в числителях ядер <?12 и (?21 оказываются одинаковыми, а знаменатели комплексно сопряжены и отличаются знаками. Принимая во внимание формулу
, !2 + —~9-= 2яЙ (Л, _ Л'Д (3.78)
придем к выводу, что сумма этих ядер равна последнему слагаемому в (3.76).
Аналогичные выкладки показывают, что квадратичные слагаемые в (3.63) и (3.75) равны на поверхности энергии. При этом гладкие члены, которые остаются после вычитания из (3.63) произведения двухчастичных волновых функций (3.73'), компенсируются остатком ряда теории возмущений. Данный результат представляет определенный интерес, поскольку таким образом мы можем найти сумму формального ряда из полиномов по парным* Г-матрицам, что не удается сделать другими средствами.
Отметим, что сингулярности оператора рассеяния, отвечающие первой итерации @а°э, можно выразить в терминах только парных Г-мат,риц и при произвольном соотношении между массами частиц.
Обозначим через Тар оператор с ядром
Та»(Р, Р') =
1 *а(^а' ?д(Рд' Рр). Д«)«р(^р(Рд» р'п)' Ц' К)
(3.79)
1!арГ Е^-Е^-Ю
где
Е$а = к\ (ра, Рр), Ер = /ср2, Еа = й?,
7 2 . 2 7 '2 . /2 т-т
К + Ра = к$ + = Е
§ 4. ПРИМЕРЫ
103
и через к\ Е) обозначено ядро парной Г-матрицы
на энергетической поверхности:
Ш, к', Е) = Е1/2к\ Е + Ю).
Нетрудно видеть, что числитель (3.31) совпадает с числителем (3.79) на энергетической поверхности к% + р% =
= к'$ + р'р = г, если знаменатели, одинаковые в обоих случаях, обращаются в нуль. Отсюда следует, что ядро разности 0/?$ — Тар не имеет особенностей на энергетической поверхности, так что оператор Тар содержит все трехчастичные особенности Физический смысл это-
го оператора состоит в том, что он описывает процессы последовательного двухчастичного перерассеяния частиц из подсистем р и а.
Дискретный спектр в окрестности нуля. Изучим характер дискретного спектра оператора энергии системы трех тел в случае, когда двухчастичные подсистемы имеют виртуальные уровни при нулевой энергии, т. е.. когда уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение при z = 0. Мы будем предполагать при этом, что отрицательный дискретный спектр у этих операторов отсутствует.
Можно показать, что при этих условиях ядра парных Г-матриц имеют сингулярность при 2 = 0. Справедливо представление
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed