Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы закончили исследование уравнения (3.29) и теперь можем охарактеризовать свойства ядер Wap(z). Пусть flC_x2 — комплексная плоскость с разрезом [—х2, сю) с вырезанными окрестностями точек ИЗ 2н. Справедливо следующее утверждение.
При всех z из П1х2 ядро WatiP, Р', z) может быть представлено в виде суммы
W*t (Р3 Р'9 z) = S Q% (Р, P\z) + Щ (Р, Р', z).
Ядра (?a? являются ядрами типа 3)а$, их свойства описаны выше. Ядра Wal являются ядрами класса так что их компоненты .РаР, Ga,?, /a?, #a? подчиняются оценкам (3.44).
Посмотрим, что дают перечисленные результаты для самой резольвенты. Обозначим через R«(z) резольвенту для оператора энергии Ha = H0 + Va. Оператор -Ra(z) выражается через Г-матрицу Ta(z) равенством
Ba(z) = Ro(z) - R0(z)T«(z)R0(z). (3.54)
Аналогичное соотношение имеет место и для операторов R(z) и, ТЫ:
R(z) = R0(z) - Ro(s)T(z)R0(z). (3.55)
Сопоставляя формулы (3.24), (3.28') с равенством (3.55), получим представление
R(*) = R0(s) +
+ 2 (R. (*) - R0 (*)) - R0 (*) 2 Wa? (z) R0 {z)t (3.56)
a a,?
94
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
которое позволяет описать все особенности ядра резольвенты через особенности ядер операторов WapЫ. В частности, из представлений (3.36) следуют равенства (2.24) и (2.25), которые мы рассматривали в главе II как гипотезу. Отметим, что последнее слагаемое в правой части (3.56) совпадает со связной частью резольвенты:
На этом мы закончим описание свойств ядер резольвенты для систем трех частиц. Итак, мы получили в этом параграфе компактные уравнения, исследовали на их основе особенности ядра Г-матрицы ТЫ и обосновали представления (2.24) и (2.25) для ядра резольвенты.
§ 3. Интегральные уравнения для резольвенты и волновых операторов
В этом параграфе мы опишем компактные интегральные уравнения для компонент резольвенты и компонент волновых операторов. Такие уравнения удобно применять для численных расчетов. Мы также опишем здесь интегральные представления для компонент \?ар(?) и выразим через них ядра оператора рассеяния.
Компоненты резольвенты. Определим компоненты резольвенты равенством:
КаР(*) = -КоЫМаРиЖ0Ы. (3.57)
При этом резольвента выражается через компоненты 1Яар(^) с помощью соотношения
Щг) = 110(2) + 2 Ва|3 (2).
Умножим обе стороны компактных уравнений для 7-мат-рицы на оператор Г^Ы. Учитывая равенство
КоЫТа(2)=КаЫУа, (3.58)
которое следует из определения (2.21) Г-матрицы и равенства (2.9), придем к следующей системе интегральных уравнений для этих компонент:
Иар (*) - (Иа (*) - 1*0 (*)) бар - Иос (*) У а 2 «73 (*)•
(3.59)
§ 3. РЕЗОЛЬВЕНТА И ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ 95
Альтернативно, компоненты резольвенты можно ввести в соответствии с разбиением потенциала в уравнении теории возмущений (2.9):
R«} (*) = Ro М Sa? - R0 (*) VaR (z). (3.60)
Уравнения для операторов Ra?)(z) могут быть получены по такой же схеме, как и в случае Г-матрицы.
Именно, подставляя в (3.60) очевидное равенство R(z) = 2Ro?\ которое вытекает из уравнения (3.9), по-
a
лучим соотношения
R(«?) (*) = R«, (*) бар - R0 (г) v« 2 Rf (*)•
у
Перенося затем диагональное слагаемое R«* в левую часть
(I + R0 (z) Ve) R<» (z) = R0 (z) 8a? - R0 (z) Va 2 Rf (z)
уфа
и обращая оператор 1+ R0(z)Va, получим, с учетом равенства (l + 'Ro(z)Va)~i'Ro(z) = T{a(z)1 следующую систему:
RL?) (z) = oa?Ra (z) - Ra (z) Va 2 (z).
Эта система отличается от (3.59) только свободным членом. Отметим, что два вида компонент связаны равенством
Ri?> (s) = 2Rav(3) + «a?Ro(*)-
у
Дальнейшие построения мы будем проводить на основе разбиения (3.57).
Компоненты волновых операторов. В соответствии с представлением (2.3) определим компоненты волновых операторов иБ при В Ф 0 равенствами
U<& = lim4= 1гЯа$(ЕАВ(рА) ± ie)LB(pB). (3.61)
e|o
Компоненты волновых операторов ^ао\ описывающих процессы с тремя свободными частицами в начальном состоянии, зададим равенствами
ug» = lim=F te(8elR0(P'2 ± +
ejo
+ 2Ra?(^'2±^)L0(P')). (3.61')
96 гл. iii. метод интегральных уравнений
иао (Р, Р') = 6а1б (Р-Р')--п2 п„тдп- . (3.63')
Компоненты операторов \ТаВ и иа0 могут быть явно выражены через компоненты Г-матрицы. Обозначим через Тав ядро, равное сумме
и через Тао — ядро, задаваемое равенствами Тао(Р,Р'^) = ^М^(Р1Р\г).
Повторяя рассуждения, которые привели нас к формулам (2.29) и (2.30), получим следующие выражения для ядер иав и иов:
и#В (Р, рр) = баф^вЩ) б (рр — —
_ТаВ(Р,Р;,ЕМ)±Ш)-
Та0 (Р, Р>, Р'2 ± ю)
При этом волновые операторы и могут быть
восстановлены по своим компонентам равенствами
и^-Еий'. и^-Ци^. (3.63")
а а
•~ Заметим, что ядро Тав с точностью до множителя Фа совпадает с вычетом ядра \?аь(Р, Р\ %) в двухчастичном полюсе {Ев (рр) — я)""1. Поскольку трехчастичные особенности не пересекаются с двухчастичными, отсюда следует важное свойство ядер Тав: они имеют лишь двухчастичные сингулярности, явно выделенные в представлении (3.62). Напротив, ядро Тов содержит трехчастичные особенности и, кроме того, имеет двухчастичные полюсные сингулярности вида {^а(ра)— Р'2 -Ь Ю)"1, которые, однако, не пересекаются с трехчастичными.
