Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
ми класса ?&ар, начиная с w = 4.
Проведенные рассуждения позволяют угадать класс функций, в котором следует рассматривать интегральное уравнение (3.29). Именно, следует рассматривать л множество вектор-функций
<*> = (Pl (Р)> Р2 (Р), Рз (Р), <*11 (Pl) • .
• • • » alNt (Pl), • • • , СГ31 (p3), . . . , (Т3дг3 (р3)),
где компоненты р«СР) подчиняются оценкам (3.44) как функции Р и оценки для оА(ра) получаются из (3.44), если положить ко, = 0. Это множество мы обозначим- через Ж
На элементах со рассмотрим оператор АЫ, определенный следующим образом: g)' = A(z)co означает, что
р«(^> =
= - j" ?«(*«, к'а, z - pl) 6(^«^«) Д ц {Р>) dP>t (3.45)
°а(Р„)- - [<?Х(ка)8{Рр:~Р'а) 2%,(P')dP', (3.46)
где через %а(Р) обозначена функция
Ха(Р) = Ра(Р) + 2ФАГа)?Ы, A = {а, I}. (3.47),
г Ра ~~ КА ~ z
Заметим, что если сложить равенства (3.45) с равенствами (3.46), умноженными нафА(&а)(ра— к\ — z)-:\h обозначить через %а (Р) функцию, построенную по формуле (3.47) по функциям ра (Р) и аА(ра), то мы получим
&(р) = - Гta(ka, к'а, z -ps) 6{р%2Р'а) 2 x? (п
или, в операторном виде,
Таким образом, оператор АЫ, действующий на элементы множества ЗИ, имеет тесную связь с системой уравне-
§ 2. Т-МАТРЙЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТИЦ
91
ний (3.29), которую мы исследуем. Приведенная довольно громоздкая конструкция потребовалась нам для последовательного учета главных особенностей ядер Waz(P, Р\ z).
Сведем, наконец, исследование системы (3.29) к изучению уравнения второго рода на множестве Ш с оператором A(z). Вместо операторов Wap(z) будем рассматривать операторы Wap(2), полученные из Wap(z) после вычитания первых трех итераций системы (3.29). Система уравнений для операторов Wap (z) имеет вид
W$ (z) = Q$ (z) - Ta (z) R0 (z) S W$ (3.48)
На основании сформулированного выше утверждения ядра Qa%(z) принадлежат классам 2)а&. Обозначим через Fty, Gal, J(ll и Н^в их компоненты. Совокупность ядер F(al(P, Р', z), J%(pa, Р\ z) при фиксированных р, Р; и z можно рассматривать как элемент Обозначим этот элемент через со(р4) (Р', z). Аналогично, совокупности ядер GaB(P, Рр, z) и НАв(ра, Рр, 2) при
фиксированных рр и z сопоставим элемент со^Чрр» з). Рассмотрим уравнения
<ор(Р', z) = 44)(^', г) + A(z)<op(P', z), (3.49)
®в(рр, z) = со(Б4) (рр, z) + A (z) соБ(рр, z). (3.50)
Пусть при некотором z эти уравнения имеют решения.
Обозначим через Fa*(P, Р\ z), Лм,(р«, Р', Z) ж(*ав(Р, Рр, Д
FtАв(ра^р§, z)компоненты элементов g)p(P', г).исов(рр, z) и^ рассмотрим эти ядра как компоненты ядер Wal (Р, Р\ z) класса 3)w$. Нетрудно проверить тогда, что эти ядра удовлетворяют уравнениям (3.48). Таким образом, мы свели вопрос об исследовании ядер Wa$(P, Р\ z) к вопросу о разрешимости уравнения
co = co(0) + A(z)g) (3.51)
па множестве 24.
Теперь нам осталось проверить, что уравнение (3.51) фредгольмово, и исследовать соответствующее однородное уравнение. Мы не можем, однако, ограничиться изучением непосредственно этого уравнения, поскольку мат-
02
ГЛ. ГТ1. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ричные ядра оператора A{z) содержат б-функции и поэтому данный оператор не является вполне непрерывным. В этом случае необходимо рассматривать проитерирован-ные ураврения и соответствующие им степени оператора An{z). Последние я^е выражаются через компоненты ядер Q{al^ Действительно, уравнение (3.48), проитерирован-ное п раз, имеет следующий вид:
\^=2(&н)+ 2 И. (*) 2 Щ{г).ф.Ъ2)
Это уравнение можно свести к уравнению о = со(п) + Ап (г) со, со(п) = 2 А*(г) о)(о)„
по такой я^е схеме, как мы свели уравнение (3.48) к уравнению (3.51). В результате можно получить явные представления для ядер оператора АПЫ через компоненты (Йр (2). Используя полученные выше оценки для этих компонент, можно убедиться, что оператор An(z) улучшает свойства компонент элементов со и, следовательно, является компактным. Мы не будем приводить здесь детального доказательства этого утверждения. Все рассуждения основаны на лемме о сингулярных интегралах, и мы подробно обсудили их на примере задачи двух тел.
В заключение опишем множество особых точек, при которых однородное уравнение
со = АЫсо (3.53)
имеет нетривиальное решение. Обозначим через Чга(Р) функцию
^а(Р)^(Р2-гУ1%а{Р\
где функция %а выражается через компоненты ра и аА элемента со равенством (3.47). Уравнение (3.53) в терминах "*?а(Р) можно переписать в виде
ЧЪ=-В0(*)Та(*) 2 тр>
и, следовательно, как мы видели выше, функция = = 211/а подчиняется уравнению Шредингера = ^ЧГ.
а
Заметим теперь, что, согласно оценкам (3.44), эта функ-
§ 2. f-МАТРЙЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТЙТД
93
ция является квадратично интегрируемой при всех z из П_н2, не примыкающих к разрезу [—к2, <*>). Сложнее показать, что при z, лежащих на разрезе, это решение также является квадратично интегрируемым. С этой целью можно использовать соображения, аналогичные тем, которые мы привели в случае задачи двух тел. Однако соответствующие конструкции в этом случае очень громоздки, и мы не будем описывать их здесь.
Итак, мы приходим к заключению, что множество особых точек уравнения (3.51) совпадает с множеством собственных значений оператора АЫ. Мы обозначим это множество через 2Н.
