Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 23

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 118 >> Следующая

А/ц2) = 1(2)г0а(2)Ч2).
Эта функция может быть представлена в виде конг турного интеграла:
где контур е состоит из окружности радиуса /?, отрезков [0, Д], примыкающих к вещественной оси, и окружности Се радиуса е с центром в точках — х2. В свою очередь интеграл можно записать в виде суммы (3.19), где ядро ?(/с, к\ z) задается равенством:
7{к, к', z) =
оо
- V (к - к') + ^ [ {I (к, к\ X + Ю) — Цк,к\% — Щ. о
Выражение под знаком интеграла в правой части преоб-
§ 1. Г-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ЧАСТИЦ
77
разуем с помощью тождества (3.20). В результате придем к представлению
7 (к, к', г) =
^v(k^k,) + ]dg Цк, я, д2 + Ю) {д2 - * (д, к\ д2 - Ю).
(3.21)
Отсюда следует, что ядро ?(&, к', ъ) при 2, лежащих в окрестности особых точек — х2, можно оценить через значения ядер ?(&, к', %) при вещественных положительных ъ. Искомые оценки могут быть получены тогда на основе леммы о сингулярных интегралах.
На этом мы закончим описание свойств ядра двухчастичной Г-матрицы.
Посмотрим, наконец, какие общие выводы можно сделать из проведенных рассуждений. Можно выделить три основных этапа исследования интегральных уравнений второго рода. Именно, мы должны:
1. Получить подходящие оценки для итераций интегральных уравнений.
2. На основе этих оценок подобрать функциональное пространство, в которое попадают эти итерации, хотя бы начиная с некоторого номера, и такое, что в терминах его элементов и операторов можно записать интегральное уравнение (или систему уравнений) в виде компактного уравнения.
3. Исследовать соответствующее однородное уравнение.
8 следующем параграфе мы рассмотрим, как эта схема работает в случае -задачи трех тел.
В заключение этого параграфа приведем ряд формул для волновых операторов и оператора рассеяния. Согласно (2.30), ядро волнового оператора иш(к, к') имеет вид:
и<±> (*, к') = б (к — к') - ^У^^^ (3-22)
Это ядро подчиняется интегральному уравнению второго рода
и<±> (?,?') =
которое можно получить таким же способом, как и более общее уравнение (2.33). Если выделить 6-функцию
78 ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Компактные интегральные уравнения для системы трех частиц
В этом параграфе мы получим интегральные уравнения для компонент трехчастичной Т-матрицы и исследуем свойства ее ядра.
Вывод компактных уравнений. Опишем сначала обозначения для относительных координат и импульсов, которые удобно применять в задаче трех тел. Мы будем использовать три пары координат и импульсов {ха, Уа), {ка, Pah которые были введены в первой главе формулами (1.9), (1.12'). При этом индексу а будем присваивать значения 1, 2, 3, отвечающие свободной частице, которая не входит в подсистему из двух частиц. Например, пара координат (1.9), индуцированная разбиением (31) (2), принимает обозначения {х2, г/2К Различные относительные координаты и импульсы связаны между собой равенствами:
^1 — С12^2 + S12P2i °12 — ^т . Pi — S12^2 С12Р2у С12 + 512 ~ 1»
,1/2
з) K + Ws)y
при а = 1, р = 2, и при остальных значениях а и р — равенствами, которые получаются отсюда заменой номеров частиц.
8{к — к') и множитель (к2 — к'2 Ю)"1, то мы, перейдем отсюда к уравнению для Т-матрицы (3.4), где следует положить z — к'2 ± Ю. По-доказанному, последнее уравнение имеет единственное решение и, следовательно, то же относится и к уравнению для иш(к, к').
Ядро оператора рассеяния выражается через Г-матри-цу равенством
s (к, к') = 8(к — к')- 2т8 (к2 — k'2)t (к, к',к'2 + Ю),
(3.22')
которое следует из (2.36) в случае N = 2. Согласно (3.18), ядро t(k, к\ z), участвующее в этом представлении, является убывающей гёльдеровской функцией. Мы уже использовали это обстоятельство в главе I.
На этом мы закончим описание общих свойств Г-мат-рйцы и волновых операторов для системы двух частиц.
§ 2. Т-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТИЦ
79
Перейдем к выводу компактных уравнений. Рассмотрим уравнение для Г-матрицы:
ТЫ^У-УИоЫТЫ. (3.23)
Вывод этого уравнения ничем не отличается от вывода уравнения для системы двух тел. Возмущение в этом случае равно сумме парных потенциалов
V = у4 + У2 + Уз
и, соответственно, УИо равно сумме
ук0(2) = 2Уав0(2).
а
Рассмотрим, например, оператор У^оЫ, участвующий в этом уравнении. В импульсном представлении он имеет ядро
содержащее б-функцию, причем эта особенность не пропадает при итерациях уравнения (3.23). Это хорошо видно на диаграммах, которые можно сопоставить итерациям (У^о)" (см. рис. 7). Линия, отвечающая третьей частице, остается несвязной в сколь угодно высоком порядке теории возмущений по потенциалу. Поэтому, в отличие от системы двух тел, у нас нет возможности свести уравнение (3.23) к уравнению с вполне непрерывным оператором в каком-либо функциональном пространстве.
Заметим, однако, что при перемножении операторов У^о^) и У2г\о(2) при итерациях уравнения (3.23) б-функции исчезают. Действительно, при вычислении
з
1
Рис. 7 Рис 8
ядра оператора УЗоЫУгКо^) мы можем взять в качестве переменных интегрирования переменные Pi и /?2,и б-функции пропадут при интегрировании. Аналогичное явление происходит при перемножении двух любых операторов типа УЛЫ с разными индексами. Всем таким итерациям можно сопоставить связные диаграммы, изображенные на рис. 8.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed