Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
где отвечающие индексам aN-i и пары а и р имеют одну общую частицу. Эти итерации описывают перерассеяние частиц пар а и [}, образующих трехчастичную подсистему, и их ядра содержат б-функции, зависящие от импульсов остальных N — 3 частиц, не входящих в рассматриваемую подсистему. Эту ситуацию можно проиллюстрировать диаграммой для системы пяти тел (рис. 9), где несвязные линии сопоставляются невзаимодействующим частицам 1 и 2. Продолжая анализ уравнений (3.35), можно убедиться, что б-функции содержатся во всех итерациях, которые получаются при перемножении парных Г-матриц для одной и той же подсистемы любого числа частиц. Эти б-функции исчезают, например, в том случае, когда в произведении Т ц) К0Т (2) Ы0 ... Й0ТЬлг__
нет одинаковых сомножителей, Ф I, к=1, 2,...
.... N—2. причем каждое из разбиений полной цепочки {а^-ь аК-г, ..., а2) представлено хотя бы одним оператором Т , а последний оператор ТЬлг отвечает раз-N-1 1
биению 62, не совпадающему с а2. Такой случай изображен на связной диаграмме рис. 10.
2 _
±_
Рис. 9 Рис. 10
Итак, мы видим, что систему (3.35) следует подвергнуть дальнейшей перестройке, чтобы получить уравнения со связными ядрами. При этом необходимо по возможности сохранить свойства, которые имели компактные урав-
108 ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
нения (3.28) для системы трех частиц. Именно, перестроенные уравнения должны быть компактными и соответствующие однородные уравнения эквивалентны уравнению Шредингера в пространстве квадратично интегрируемых функций.
В случае системы N тел мы сталкиваемся с проблемой выбора оптимальной перестройки уравнений (3.35), обусловленной неоднозначностью в дальнейшем разбиении операторов ТЫ илиШан_1ъ]^_1 на компоненты. Например, можно разбить оператор ТЫ на N компонент, по числу частиц, на -^-М ^ — 1) компонент, по числу
парных потенциалов; на -^г N ^ — 1) (Л^ — 2) компо-.
нент — по числу трехчастичных подсистем и т. д. При этом, если в случае системы трех тел возможны лишь два первых способа, причем количество компонент по числу частиц
или парных потенциалов совпадают N = уЛ7" (А7" — 3) = 3,
то в системах N тел при N ^ 4 количество уравнений для разных вариантов включения потенциалов не совпадает с числом частиц. В результате можно вводить различное число компонент, исходя из каких-либо -наводящих соображений, и получать для них уравнения со связными ядрами. Можно получить уравнение со связными ядрами и без разделения Г-матрицы на компоненты, если выделить из нее или из резольвенты несвязную часть. Однако такие уравнения обладают существенным недостатком — для них не удается доказать эквивалентность соответствующих однородных уравнений уравнению Шредингера. В принципе, они могут иметь лишние решения, которые не удовлетворяют уравнению Шредингера.
Такие решения возникают из-за факторизации операторов в интегральных уравнениях. Чтобы пояснить механизм их появления, рассмотрим простейший тип уравнений, получаемых в результате выделения несвязной части.
В системе трех тел в качестве такого уравнения можно взять соотношение (2.17), которое имеет следующий вид:
Щг)-К0(г) =
= 2 (Л*(*) - 1*0 (*)) + 2 И» (г) УаК0 (г) УрИ (*). (3.86)
§ 5. СИСТЕМА ЧАСТИЦ
109
Ядро этого уравнения имеет такую же структуру, как и ядро оператора рассмотренного в § 2. Следователь-
но, оно является связным.
Заметим далее, что в силу равенства
однородное уравнение (3.86) можно переписать в фак-торизованном виде:
(1-2 (1 + 2 І^р) ЧГ = 0. (3.87)
Видно, чта-существует два типа (решений этого уравнения. Первое, интересующее нас, удовлетворяет уравнению Шредингера, которое получается в результате умножения равенства
(і + В02ІУр)ЧГ-0 (3.88)
на оператор Н0 —? слева. Второе решение отвечает нулям множителя I — 2 ^аУа,
а
и, вообще говоря, не совпадает с решениями (3.88). Аналогичным недостатком обладают и уравнения с выделенной несвязной частью для системы N тел:
И (*) = [И (2)]пс + 2 И (*): (3.89)
Эти уравнения также могут быть представлены в факто-ризованном виде.
Компактные уравнения для системы четырех частиц.
Анализ трудностей, которые мы описали выше, показывает, что для устранения лишних решений спецификация компонент Г-матрицы должна предполагать последовательное включение парных взаимодействий, отвечающих всевозможным процессам перерассеяния как простейших парных подсистем, так и более сложных конфигураций, входящих в различные разбиения. Таким образом, мы естественно приходим к классификации компонент по цепочкам разбиений. Мы опишем метод вывода компактных уравнений для таких компонент на примере системы четырех тел,
110
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем преобразовывать систему уравнений (3.85), которая в данном случае состоит из шести уравнений для каждого фиксированного 6^-1. Компоненты, отвечающие цепочкам разбиений, возникают в результате записи операторов
^^а]у_1Ь^_1 = Ма^_1ьдс_1 — б (Я]У-1, bN-l)TaN_1
в виде суммы нескольких членов, отвечающих всевозможным способам присоединения взаимодействий к паре, определяющей разбиение а^_1. Этому процессу отвечает переход на следующий горизонтальный уровень «дерева» на рис. 2, 3. Например, оператор \?12 представляется как сумма
