Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Особенности резольвенты для систем заряженных частиц
Этот параграф посвящен описанию основных особенностей ядра резольвенты и волновых операторов для систем заряженных частиц. Мы также приведем здесь выражения для ядер оператора рассеяния через коэффициенты при этих особенностях.
Резольвента и волновые операторы. В предыдущем параграфе мы описали основные особенности ядер резольвенты и волновых операторов для систем нейтральных частиц. Термин «основные» здесь употребляется в том смысле, что именно эти сингулярности ответственны за существование нетривиальных пределов (2.3), определяющих волновые операторы и ^-матрицу. Характер особенностей мы определили с помощью уравнений (2.10) на основе гипотезы о строении ядер 7?а/(2;). Такой путь исследования особенностей неприменим, однако, в случае дальнодействующих потенциалов. Дело в том, что операторы На; неправильно описывают асимптотическую динамику заряженных частиц, так что мы не можем судить об особенностях резольвенты, исходя из соображений аналогии.
Тем не менее, определенную информацию о характере особенностей можно получить, не обращаясь к уравнениям теории возмущений, если проанализировать формулы (2.7) в предположении, что пределы существуют. Более точно, можно поставить вопрос о том, как следует модифицировать полюсные особенностл резольвенты, чтобы обеспечить существование пределов (2.7).
Перейдем к анализу формул (2.6), (2.7). Мы видели в предыдущем параграфе, что из-за стремящегося.к нулю множителя е конечные пределы в формуле (2.3) имеют лишь те слагаемые, которые содержат полюсные особенности {ЕА — ъ)~1, отвечающие рассматриваемому детализованному разбиению А. В случае заряженных частиц полюсные особенности уже не обеспечивают существование предела модифицированного * выражения (2.7). Однако, если сделать гипотезу, что полюса {EA-^z)~l преобразуются в кулоновские искаженные полюса (ЕА — z)~1±гЦA1 то мы немедленно получим конечный результат в пределе 8 I 0.
64
гл. ii. сведение к стационарной задаче рассеяния
Действительно, обратимся к соотношению (2.7). Согласно нашей гипотезе, справедливо представление
*а(*а)
(ДРа) (Р, Р'^) = КА{Р,рА, г)
(^(рл)-01Т4ПаГ
(2.38)
где ядро КА определено как обобщенпая функция на поверхности ЕА (рА) = г. Ясно, что значение интеграла (2.6) определяется сингулярным множителем {ЕА(рА)—г) 1±гТ]А? а функцию КА(Р, р'А, г) можно вынести из-под знака интеграла в точке ъ = ЕА (рА) ± Ю. В результате приходим к интегралу
/± ~ $ <Ь (г - Да =Р &Г1Т1ЦА (ЕА - г)~1±1пл,
где интегрирование ведется по контуру, примыкающему к вещественной оси. При этом точка ЕА + (& и вещественная ось расположены по разные стороны контура. Ин-
теграл /± явно вычисляется: 1± = ———¦ В итоге, для
модифицированного, волнового оператора получаем следующее представление:
№ (Л Ра) = ВЬ*^/ГУ *Л (Р, Ра, ^ (ра) ± Ю).
(2.39)
Замечательное отличие этой формулы от аналогичного соотношения для нейтральных частиц заключается в отсутствии б-функционных слагаемых 5(рд — рд)я|?а(&а)• Последние возникали в системах нейтральных частиц от резольвент операторов На/1. В случае заряженных частиц сильный предел соответствующих слагаемых равен нулю.
Мы уя^е отмечали в начале этой главы, что формула (2.1) не слишком удобна, поскольку под знаком интеграла фигурирует комплексная степень резольвенты. Полученные в этом параграфе соотношения (2.39) показывают, что ядра волновых операторов все же линейно выражаются через компоненты ядер резольвенты, так что комплексный показатель можно отнести к параметру е. Сравнивая (2.7) и (2.39), получим искомую модифицирован-
§ 4. особенности резольвенты (заряженные частицы) 65
ную формулу, аналогичную (2.5):
ЯГ)Д
X lim (=F i*)lTi4'A j R (P, P', EA (p'A) ± fe) x
X ярл (aa) dk'At t]a = TIA (pa). (2.40)
Эту формулу можно также переписать в произвольном представлении:
"'U ею
Оператор рассеяния. Для вычисления ядер оператора рассеяния, как и в случае нейтральных частиц, воспользуемся их нестационарным определением (1.40). В согласии с нашей гипотезой, мы предполагаем верным представление
К а (Р, Ра, z) ==
- 2-^{кВ11цАП) К**(Рв> Ра> *) + ^а(Л Р'А% z)-
в (Ев(Рв)-') А }
(2.42)
Соответственно, для матричного элемента SBA получаем формулу, аналогичную (2.34):
¦Sba(pb, р'а) =
= ± lim lim f ъ^1ЧЫРв)-ЬТЬ)Ч + *АЪ*г} х
2™ t^co в i о J /вв (Рв) - х - г8)1_г,,в(рв)
ta-»— 00
ХКВА(рв, p'A,l + te)X х ехр {- t (дл (Ра) - я - te) t2 + гЛд (рА) In (- <2)};
(«а(і»а)->.-'«)1~іча^
результат предельного перехода в (2.43) определяется соотношением между быстро осциллирующими экспонен-
5 с. II. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
66 ГЛ. II. СВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ
Нш 1- = — \"> г (1 - щу (2.44)
Это дает следующее представление:
ехр {- (цв (рБ) + ЦА (Л))}
1 в а; Г (1 - Щв (Рв)) Г (1 -Ма (Р'А))
X б (Яв (Рв) - #д (^)) явл (Рв, Р'А, ЕА (Р'А) + ю). (2.45)
Отметим, что, как и в случае обобщенных волновых операторов, диагональные элементы оператора рассеяния не содержат б-фуикционных слагаемых. Эти ядра оказываются пропорциональными коэффициентам ядра резольвенты при искаженных полюсах.
