Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(В-Я)Х = Хо. (7.42)
Здесь В — линейный оператор в конечномерном вектор-ном пространстве К т} соответствующий лапласиану и
интегралу в (7.37). Через %0 обозначен вектор, который отвечает значениям неоднородного члена (7.37) в узлах сетки. Проблема решения (7.42) сводится к определению вектора % по за^нному %0.
Для описания вектора % удобно использовать следующую нумерацию узлов сетки и, соответственно, компонент %к. Пусть — вектор из проетран-
стваК % отвечающий значениям функции Фь на /-й дуге р = р,-. Компоненты этого вектора %1 определяются соотношениями
Х{ = Фь(р^ОБдк, pi 8Швл),
/ = 1,2,...,^., 0<9,<я/2. Нумерация компонент ведется в порядке возрастания
угла 0. Пространство К ортогональной суммы
ЛГ0
может быть записано в виде
(7.43)
В этом представлении уравнение в конечных разностях можно преобразовать к виду
Ьлс'-1 + МЛ' + Вйс'+і = /і>
(7.44)
где операторы Ь,, и действуют из подпространств
К 5-1, К ; и К в I; 0 соответственно. Эти операторы реализуются как вещественные квадратные матрицы ранга Л^е- Матрицы Ь,- и К,- являются диагональ-
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОМПОНЕНТ
347
ными. Они порождаются радиальной частью оператора Лапласа
(7.45)
которая после перехода к конечно-равностной аппроксимации оператора дифференцирования (7.45) «зацепляет» значения функции Фь(х, у) на соседних дугах. Матрица ранга Л^. соответствует вкладу угловой части опера-
тора Лапласа р~
и интегрирования по дуге р = р^.
Отметим, что матрица не является диагональной из-за интегрального оператора в правой части (7.37). Через
I) обозначен вектор пространства К , отвечающий неоднородному члену %0:
Таким образом, матрица В из (7.42) является разреженной и имеет в представлении (7.43) ленточную структуру (рис. 21). Число неизвестных в уравнениях (7.44) равно (Л^р + 1)#е, и для их определения имеется ЛуУе соотношений. Чтобы определить единственное решение, отвечающее физической волновой функции, уравнение (7.44) необходимо дополнить граничным условием (7.40).
1Е
\
X + О \ ! =
\ 1
Рис. 21
Пренебрегая членами порядка (9(р~3/2), можно получить из (7.42) равенства
01/2
(7.46)
р+1
348
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
где через ? р и обозначена векторы, отвечающие
значениям функции %ь(х, у) и амплитуды А(х/у) в узлах сетки. Исключая неизвестный вектор ^лгр> получим соотношение между векторами %^р+1 и %лгр' которое дает недостающее условие для определения вектора %:
%"Р+1 - СК?> + ЬАР. (7.47)
Здесь
Р+1
1/2
ехр{і/д (р*р+1-Р*р)Ь
Уравнение (7.44), дополненное граничным условием (7.47), принимает вид
Мх = Хо + ^Ф, (7.48)
представленный схематически на рис. 22. Здесь все векторы заданы в представлении (7.43), а вектор Ф имеет
ш <7
ч щ Ч
О ш
ф
Рис. 22
отличной от нуля лишь одну компоненту Флгр из пространства К р. Через М^0 на рис. 22 обозначен линейный
оператор в
, равный
М
Заметим, что в правой части (7.46) фигурирует неизвестная величина Ль, представляющая собой парциальную, амплитуду абсолютно упругих столкновений. В силу ли-
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ
349
нейности решение (7.48) может быть записано в виде суммы
К^А + ХьВ, (7.49)
где векторы А я В определяются из уравнений
МА =хс МЯ = Ф (7.50)
с известными неоднородными членами.
Решение уравнений (7.50) эквивалентно обращению матрицы порядка ЛУУ0. В общем случае проблема обращения больших матриц является сложной. Однако, поскольку в рассматриваемой задаче матрица М разрежена и имеет ленточную структуру, при ее обращении оказывается эффективным, например, алгоритм Гаусса. Применяя схему последовательного исключения неизвестных, можно привести Матрицу к треугольному виду. С помощью обратной процедуры можно затем определить векторы А я В и записать решение ~% в виде (7.49).
Чтобы найти неизвестные величины Кь, можно использовать, например, асимптотические формулы (7.40).
Сравним (7.49) и (7.46) в области &и где х<у. При •больших значениях второе слагаемое в (7.46) много
меньше первого (при энергиях ниже порога оно экспоненциально мало, при Е>0 имеет порядок 0(р~1/2)). Пренебрегая вторым слагаемым, получим для определения Яь соотношение
откуда следует
Здесь через Фг обозначены компоненты векторов Ф , отвечающие малым значениям углов 8г-. Например, можно положить г —Л^е~1. Зная величину можно найти
вектор % Р» отвечающий значениям функции Фь на внешней дуге р = р^, с помощью равенства (7.49). Амплитуда развала Аь определяется тогда на основании равенства
4ур = (х№р - ^Ф"р) Р#р2 ехр {- I р}.
350
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Таким образом, чтобы найти физически интересные величины Кь и Аь, не нужно вычислять функцию Фь во «внутренних» точках. Эти величины определяются по ее значениям на границе.
Следует подчеркнуть, что для увеличения точности расчетов и эффективной работы программ узлы сетки должны располагаться неравномерно. Сетка должна быть плотной в областях, примыкающих к оси х = 0, и становиться более редкой при х о© (см. рис. 20). Такое расположение узлов необходимо для того, чтобы достаточно точно описать сложное поведение волновой функции в области Оь В области й10, где #-*¦<», волновая функция принимает асимптотический вид (7.40) и гладко зависит от угловой переменной. Здесь сетка может выбираться более редкой. Важно при этом соблюдать условие самосогласованности. Последнее состоит в том, что в окрестности границы р = рде ошибка за счет введения «радиуса обрезания» должна быть меньше ошибки дискретизации. Это достигается при выполнении неравенства | Дй|2^> [рм^~3/2, где А к — минимальный шаг в окрестности границы.
