Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Заряженные частицы. Если частицы заряжены, то для вычисления амплитуд рассеяния можно использовать модифицированные уравнения для компонент (5.183).
Парциальный анализ этих уравнений проводится точно так же, как и в случае нейтральных частиц. В результате можно получить однородную бесконечную систему интегро-диффереициальных уравнений типа (7.33), где в левой части следует добавить матричные элементы дальнодействующих частей потенциалов для $?*а:
[ йхайуаУаЬ (*о, Уа) У*а'Ь> @а, У а) 2 \Т~\ С1 Ц) =
-«ы/Аг/, (7.51)
а в правой — заменить потенциал (х) короткодействующей частью
и1'1$1'1$Х'Х =
= ? йхад^а!у1а (Я*, Уа) Щь'а' У о) %а + ^ (*<*)) •
(7.51')
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ
351
Отметим, что дальнодействующий потенциал (7.51), в отличие от короткодействующих частей, недиагонален в базисе КЩат).
Чтобы использовать полученные уравнения для численных расчетов, необходимо обрезать бесконечную систему уравнений и рассматривать системы конечного ранга. С этой целью, начиная с некоторого / = 10, следует положить равными нулю матричные элементы как короткодействующих частей пртенциалов, т. е. Уц> = 0 при
V > 10, так И ДаЛЬНОДеЙСТВуЮЩИХ Частей, V^aL,arU = О,
7, V > /0.
Параметр обрезания 10, с одной стороны, как и в случае нейтральных частиц, обусловлен количеством слагаемых, которые необходимо удерживать в парциальном разложении (7.20) для достижения требуемой точности. Пра*-вомерность обрезания матричных элементов VaL,a,L' должна независимо контролироваться с помощью сравнения результатов при различных 10. Эти результаты должны стабилизироваться и слабо зависеть от /0. Качественное условие правомерности обрезания состоит в том, что элементы Уаь,а'Ь' должны быть малы в области, где волновая функция существенно отлична от нуля. Этого всегда можно достигнуть,, выбирая параметр обрезания кулонов-€ких потенциалов достаточно большим. Асимптотические условия, которые определяют физические решения, можно получить либо путем построения эйкональных приближений для парциальных уравнений, либо прямым разложением асимптотических формул (5.183') по базису ^аь. Мы не будем описывать эти условия в общем случае, а рассмотрим-только простой пример частиц, взаимодействующих в ^-состоянии.
В ряде задач, например, когда частицы заряжены одноименно и кулоновское взаимодействие значительно слабее добавочного, численные расчеты удобно проводить на основе простейшего варианта модифицированных уравнений (5.184), когда все кулоновское взаимодействие включено в «невозмущенный» гамильтониан.
Опишем постановку граничных задач на упомянутом выше примере трех тождественных частиц, взаимодействующих в ^-состоянии, т. е. будем полагать равными нулю все матричные элементы потенциалов при I, Г > 0. Мы рассмотрим только простейшее из модифицированных уравнений (5.184). В этом случае имеем семейство независимых уравнений (7.37), где в левой части следует
352 ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
^-2 + д,,2 г,2 Р
)фь(х,у) =
= у8(х) \фф, у) + | йиКь(9, и)Фь(х', у')^. (7.52)
Согласн'о (5.96) начальное состояние системы ЬА имеет вид произведения собственной функции оператора Ь4 на волновую функцию гамильтониана Ьд = — + у? с потенциалом
осх(г/) =
= | Ох | Мр (х) |2 ([ - ±- х + у |"1 + | -±- х + ^ у р1) ^
описывающим рассеяние частицы на связанной паре, которая порождает эффективный дальнодействующий потенциал и1 (у). При у °° этот потенциал является чисто
кулоновским: и\ (у) ~ ¦ . Отделив угловые переменные, УЗ у
нолучим радиальные составляющие начального состояния
%ь ==а|)и)г|)ь(д^), где функция $гХдг/) определена формулой (7.80, в которой кулоновский параметр п следует заменить величиной эффективного заряда 2/г/.УЗ.
добавить матричные элементы кулоновских потенциалов. При этом, согласно предположению о характере взаимодействия, достаточно вычислить матричные элементы У<Р> = (%oL, (у(2с) + v(3c))<yLoL)- Так как кулоновские потенциалы зависят только от угла между векторами х и z/, для этих матричных элементов справедливо представление
1
= 2п J du((x* -2/3 хуи + 4i/2)~1/2 + ~i
+ (z2 +'2/3 хуи + V)~1/2)= 2пц(9)/р,
в котором
ц(е)= VSsme
~=Т», 8<Я/6.
"•COS 0' '
В результат© приходим к уравнению
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ 35&
Полагая С/ь = Фь — %ь, получим для функции 17ь неоднородное уравнение
-(&-*М*-в)-
1
- V (х) ]' ей* Кь (0, «) (Хх. (*', У') + иь «, у')), (7.53>
-1
где е Ш — функция единичного скачка. Неизвестные фудкции удовлетворяют нулевым граничным условиям (7.39) на осях координат и следующим асимптотическим условиям при р «>:
иь ~ М> («) ехр {«ад +1^ - '* +
+ ^т=»1^Р±Ы. (7.54)
Кулоновские фазы РГ4 и ]?0 даются эйкональными формулами (5.50), которые в данном случае принимают вид.
™1 = -уГдШ2ду, ^о = -Гр1[А(0)1п2/Жр.
Коэффициенты Хь и Аь определяют амплитуду упругого рассеяния и амплитуду развала соответственно. Амплитуда упругого рассеяния Р, согласно (5.21) и (5.22), представляется в виде суммы гладкой и сингулярной частей:
Р(уи рА) = /с(?, рА) + /с8(?, рА),
