Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
П И) ~ у (ехр {- 1Яг + 11 (/ + 1)} -
-ехр^г-*! (г + 1)}). (7.4)
Сравнивая асимптотрческие формулы (7.3) и (7.4) с асимптотикой волновой функции- (4.4), получим следую-
328
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
щее выражение для амплитуды рассеяния в терминах парциальных фаз:
оо
f & к) = 2ГТЙ 2 W + 1) (*Ml~ (cos 9). (7.5)
Наконец, раскладывая обе части равенства (4.18) по сферическим гармоникам, получим интегральное представление для парциальных 5-матрйц:
оо
Sl = 1 _ 2L J dr U fa) v (r) $i (r, q). (7.6)
0
Важной характеристикой рассеяния является значение амплитуды fix, к) при нулевой энергии, называемое длиной рассеяния. Происхождение этого термина обязано тому факту, что амплитуда fix, 0) в случае рассеяния на твердой сфере равна ее радиусу. Заметим, что при q 0 и фиксированных г сферические функции Бесселя ji(qr) стремятся к нулю,'как ql+i/2. Ясно, что в пределе q О такой же вид имеют и решения -фДг, q). Из интегрального представления (7.6) следует. тогда, что парциальная ^-матрица обращается при q -*- 0 в единицу:
st~ l + Clq2l+i. t7.7)
Таким образом, длина рассеяния на короткодействующем потенциале с0 равна значению парциальной амплитуды для I = 0 при нулевой энергии:
f(x, 0)='Иш(в2^(9)-1) q-^c,.
q->0
Заряженные частицы. -Рассмотрим далее рассеяние кулоновских частиц. В этом случае парциальное уравнение Шредингера (7.2) допускает решепие в терминах специальных функций. Регулярное решение, равное пулю в начале координат, представляется* в виде
i,c (г, д) = еЩ1гС (г, д), (7.8')
где функция /г, с, удовлетворяющая вырожденному гипергеометрическому уравнепию
rf'U + 2(1+1 + iqr) /;,с + 2q (i (I + 1) - r))/,,c = 0,
r\]=n/(2g), (7.8)
§ 1. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ 32$
с
а кулоновские фазы даются равенством 6Z c = argr(l + / +jr]).
Кулоновская амплитуда рассеяния выражается через; фазы с помощью представления
оо
/с (М)=^(2|+ Pl (C0S 9>- (7'9>
Этот ряд сходится условно при 0 Ф О, а в направлении* рассеяния вперед он расходится, и его сумму следует понимать в смысле обобщенных функций, как это оговаривалось в § 6 главы V.
В случае, когда потенциал взаимодействия наряду с кулоновской частью содержит короткодействующие члены: v (г) — -~ + v8 (г), парциальное уравнение имеет решение вида
г|)Дг, q) ~ с(г, q) + ф/(г, д),
Где асимптотика функции ф/ содержит только уходящие-волны
(г, к) ~ sltCS ехр\iqr~ i "^^Т1) _ In 2grj. Сумма амплитуд уходящих волн для кулоновской Si>c ж
выбирается в следующей нормировке:
Л.с (к, д) =
= е~Г(1^++1Щ) Ф ('Л + * + 1, 2/ + 2, - 2*дг).
При дг ->- оо парциальная волновая функция г(?/ асимптотически- равна сумме искаженных уходящих' и приходящих волн:
"%,с (г, ?) — ехр { — *дг + 1) + Щ 1п 2дг} —
— в1)С ехр |гдг — I у (/ + 1) — щ 1п 2?г|,
где через 5г,с обозначена парциальная кулоновская матрица рассеяния
330
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
тсороткодействующей 5/, С8 частей называется парциальной 8-матрицей:
§1 = с $1, се*
Эту функцию удобно записать в виде экспоненты:
^ = ехр(2*(б,,с + бГ)1,
где б/, с — кулоновская фаза, а сдвиг фазы ^8 отвечает короткодействующей части взаимодействия. При этом полная амплитуда / равна сумме кулоновской и* короткодействующей частей (5.22), где последняя задается рядом
оо
*<*& к) = 2ЛТГ 2 (21 + !) е21б'><[е^а - 1] Рг (соав),
(7.10)
который, в отличие от (7.9), сходится абсолютно. Следует
отметить, что величина е 1 1 не совпадает с парциальной амплитудой на короткодействующем потенциале у*(г) в отсутствие кулоновского взаимодействия. Поэтому термин «короткодействующая» часть амплитуды понимается здесь условно.
Поведение кулоновских амплитуд при низких энергиях. При малых энергиях парциальные .^-матрицы для заряженных частиц не стремятся к определенному пределу. Это обстоятельствог в частности, является причиной медленной сходимости ряда (7.9). Действительно, поведение кулоновских парциальных ^-матриц при д 0 определяется асимптотикой Г-функции при больших значениях аргумента и дается формулой
*1,с ~ ехр {г© (?) — I -5- + I -у е (Л)},
где со(д) = 2г](1п 1т]1 — 1) и е(г)) — функция единичного скачка, е(т)) = 1 при ц > 0 и е(г]) = 0 при т] < 0. Поведение функций 5^ сд может быть изучено с помощью интегральных уравнений теории возмущений (5.20). Эти функции имеют аналогичное поведение:
тдв функция стремится к конечному пределу при
«5 0, а сингулярный множитель %с дается равенством
Хс ^ ехр (ш(д) — 2яг|е(т])}.
§ 1. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ
331
При этом предел функции s?s при q 0, вообще говоря, отличен от нуля.
Если короткодействующие потенциалы быстро убывают, то аналогичпо ведут себя и короткодействующие части амплитуды рассеяния, которые задаются быстро сходящимся рядом (7.9):
/с*Я*)~г^Хс-7в(*,*). (7.Н)
Функцию /8, имеющую конечный предел при l&|-^0, естественно называть кулоновской длиной рассеяния. Она совпадает с длиной рассеяния, определяемой равенством (7.7), в отсутствие кулоновского потенциала.
Если же короткодействующая часть потенциала содержит мультипольные члены (5.25), то низкоэнергетическое поведение амплитуды /С8(#, к) уже не может быть описано простой формулой (7.11), так как ряд (7.10) схо^-дится тогда неабсол1отно и поведение его общего члена не отражает, вообще говоря, поведения суммы. В частности, можно показать, что если потенциал v3(x) при \х\
