Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
— (2ге)2 эр г0г* г*г0г*У0г + (2*е)2 ер г0г*1*г0г*д2г —
— (2^)2 зр г0г* (д2Ъ*) г0г*г.
Символ д2 означает дифференцирование ядра ?(/?, р', %) «относительно «энергетической» переменной р2 по второ-
§ 4 ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 367
му аргументу р'2:
d2t(p,p', z) = —it(p,p',z);
% _ (7.78).
d2t* (p,p',z) = —it(p',p, z). dp'
Слагаемые, содержащие производную <92, можно представить в виде
(2 Je)2 sp r0r*d2t*r0r* t — (2 te)2 sp (d2tr0r*t*) r0r*,
и в силу (7.77) эта сумма равна нулю. В результате мы приходим к представлению (7.74).
Формула следа (7.75) представляет собой главный результат проведенных рассуждений. Подставляя (7.75) в интеграл (7.63), мы явно выразим второй групповой интеграл через матрицу рассеяния. На этом мы закончим обсуждение второго группового интеграла.
Подготовительные формулы Для JV-ro группового интеграла. Рассмотрим след
Q<"'(z)=sp Im[Rw(z)]c.
Если переменная z выходит на вещественную ось, величина Q{N)(z) имеет конечный предел (7.64), который используется в формуде (7.63).
Рассмотрим далее унитарные операторы
gw_H-j3Liff saft(z) = J*Z!5^. (7.79),
Здесь и далее мы опускаем индекс N в обозначениях операторов. Как и в системе двух частиц, легко проверяются представления
S (z) = I - 2ш R0 (z) T (z) R0* (s),
Sak (z) = I - 2m R0 (z) Tak (z) R0* (z).
Обозначим через [lnS(z)]c связную часть оператора lnS(z). Она дается равенством (7.62), где операторы ?-рн — е"~^н° и е~^Яа—е~^я° следует заменить соответственно операторами ln S (z) и lnSa/l(z). Беря операторы S(z) и Sufe (z) в форме (7.76) и дифференцируя каждое слагаемое следа связной части sp[ln S (z)]c относительно S,
368
ГЛ VII НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
получим равенство
2*2(г)=^зр [Ы§М]0.
Учитывая, наконец, что операторы 5(я) и $>ак(я) унитарны, получим следующую основную подготовительную формулу:
2*0 = ер [§*(*) где г = Е + г'е,
(7.81)
[*и]>-2<-«>'"*",(2--1)'К&- <"»'>
Прежде чем продолжить обсуждение этой формулы, сделаем предположение, что оператор энергии системы N тел Н, как и операторы энергии подсистем На/1, не име-*ет связанных состояний. Это предположение не отражается на существе дела — все рассуждения легко обобщаются и на общий случай. Однако оно избавит нас от необходимости вводить многочисленные громоздкие обозначения.
Дальнейшее преобразование основной подготовительной формулы можно провести по такой же схеме, как и в случае двух частиц. Во всех слагаемых (7.81) следует использовать представления (7.80). При вычислении следа получившегося выражении нужно проинтегрировать по частям относительно Р2, чтобы перенести производную
с ядра ?^/?0/?0 па ядра Г и Таьг В результате этих
преобразований получим подготовительную формулу
2Щг) =8Р[Ко(Т)]0, (7.82)
где через К0(Т) обозначены выражения, аналогичные (7.72):
К0 (Т) = - 21ъЪ$&<р - (2*е)2 К^ТЧКХТ.
При этом под У0(2 понимаются интегральные операторы, задаваемые ядрами
(7.83)
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
369
Следующий шаг — это предельный переход е 10 в формуле (7.82). Если действовать формально, по аналогии с системой двух тел, то мы должны заменить выражения ?8Ы0Ьл0 в пределе е Ю б-функциями 2т(Р2 — Е), а ядра Т и ^0 — ЗГ-матрицами рассеяния и их производными. В результате получилась бы простая формула
а+(Е) = ±в^(Е)^.)с, (7.84)
где через 8(Е) обозначена матрица рассеяпия для системы /V тел и через ^в* |*|)с— связ'яая часть оператора
в* определенная согласно (7.*81).
Однако такое формальное обобщение формулы (7.75) на случай многочастичных систем ошибочно. Дело в том, что соотношение (7.84) лишено непосредственного смысла. В то время как его левая сторона определяется формулой (7.64) вполне корректно, след, фигурирующий в правой части (7.84), содержит бесконечные слагаемые, которые взаимно не сокращаются. Возникновение этих бесконечностей обусловлено тем, что ядро оператора ё(Е) — I, которое с точностью до множителя совпадает с ядром Г-матрицы на энергетической поверхности, в многочастичном случае содержит на диагонали сильные сингулярности. Мы видели в главе III, что эти сингулярности отвечают процессам многократного перерассеяния. Напомним, что в двухчастичном случае аналогичный оператор 8{Е) — 1 задается гладким ядром.
Естественно ожидать, что неопределенная величина
ер ^ в* допускает какую-нибудь регуляризацию, после чего формула (7.84) приобретает смысл и становится справедливой. Однако и это предположение неверно. Дело в том, что в случае модельных операторов (3.74), рассмотренных в § 4 главы III, след эр [ $*~[§)с определен и дая^е равен нулю, в то время как след выражения (7.64) заведомо отличен от нуля. Мы увидим это в конце данного параграфа.
Таким образом, для вычисления ?1+(Е) необходимо аккуратно рассмотреть все члены, которые не имеют следа, и выразить их через ^-матрицы для подсистем. Мы покажем, как это можно сделать в случае задачи трех
24 с. П. Меркурьев, Л Д Фаддеев
370
ГЛ VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
t тел. Осуществить подобную программу в общем случае системы N тел до сих пор не удалось.
Формулы следа для системы трех частиц. Итак, мы переходим к детальному исследованию предельного перехода 6 \ 0 в формуле (7.82) в случае системы трех частиц. При этом удобно использовать сокращенные обозначения из главы III, которые приспособлены к этой задаче. Поэтому мы начнем с того, что выпишем соот-ндшения, которые были получены в общем случае, на примере задачи трех тел.
