Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
где через /с обозначена кулоновская амплитуда рассея-
2п
ния, отвечающая потенциалу _ , а гладкая часть /са
УЗ г/
выражается через парциальные амплитуды %ь соотношением, аналогичным (7.10):
оо
= 27? 2 (2Ь + 1)ЯгРг(со8в), созв = (у1,рА). (7.55>
23 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
354
ГЛ VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Парциальные сдвиги8Ь = 8™ + ащТ^Ь + 1-М -у^д) и ко~
эффициенты поглощения ць определяются при этом равенством
Чьв'Иь - 1)6x5(204Г(^ + 1 + *^-)),
так что б^8 отвечает дополнительному сдвигу фазы за €чет короткодействующего потенциала vs.
Коэффициенты Аь связаны с амплитудой развала теми же соотношениями, что и для нейтральных частиц,— (7.35), (7.35').
Итак, мы получили интегро-дифференцйальные уравнения (7.53), определяющие радиальные функции, и описали граничные задачи для них. Численное решение этих задач моя^ет быть получено, совершенно так же, как и в случае нейтральных частиц.
В заключение этого параграфа отметим, что однородные ура,внения (7,37) или (7.53), рассматриваемые в пространстве квадратично интегрируемых функций, имеют нетривиальные решения в точках —2?*, равных собственным значениям оператора энергии. При каждом значении полного момента Ь мы можем искать приближенные собственные значения с помощью системы конечного ранга, отвечающей некоторому обрезанию матричных элементов потенциала. Для их определения можно, например, применить конечно-разностную аппроксимацию уравнений, положив компоненты собственной функции равными нулю на некотором достаточно большом расстоянии от начала координат. Собственные числа —Е{ в этом случае отвечают нулям определителя Фредгольма системы типа (7.42), расположенным ниже границы непрерывного спектра оператора Н.
Эффективность такого подхода к определению собственных чисел оператора энергии проверена на многих задачах. Одной из причин, обуславливающих успешное использование компактных уравнений для расчета дискретного спектра, является то обстоятельство, что структура компонент волновой функции обычно более проста, чем структура волновых функций. Это можно видеть на примере асимптотического поведения собственных функций, описанного в конце главы IV. Поэтому и аппроксимировать компоненты легче, чем сами волновые функции.
§ 3. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 355-
23*
§ 3. Интегральные уравнения для сепарабельных потенциалов
В этом параграфе мы опишем методы численного решения компактных интегральных уравнений в импульсном пространстве. Мы будем рассматривать интегральные уравнения для ядер Г«в, которые, согласно равенству (3.63), определяют волновые операторы ив.
Компактные уравнения в бисферическом базисе. В случае трех тождественных частиц, рассмотренных в предыдущем параграфе, система уравнений (3.28) для ядер Тав сводится к одному уравнению
К4 = (}* - т\ (Е + Ю)Ко {Е + ю) (р+ + р-) Кі, (7.56)
где через Кі обозначен оператор с ядром Тгв(Р, р'в)% действующий из пространства ф4 в
Проведем сначала парциальный анализ этого уравнения. Искомое ядро, аналогично (7.28), разложим по би-сферическому базису
*іс р[)=2кІІк^Ґ}^& <7-57>
Ядро Г-матрицы Т^Е + іО) в том же базисе задается рядом
а>Ь,а'іЬ'
Х(\к\\к'\\р\\р'\)-НаЬ,аГЬ,(\к\,\к'\,Е-.р^ + іОЩ\р\-\р'\)г
где через ?аь,а'і/ обозначены парциальные Г-матрицы (7.20). Соответственно для парциальных компонент Каь. получаем бесконечную систему двумерных интегральных уравнений
%аЬ (&, Р) =
оо
= Фі (к) 8 (р - р') 8аЬ,аЬ - 2 ( йк'йр'Ь (р - р') X
0 0 о
X (&№,а>Ь> (А, Р, А', р') Ка'и (А'+, Р+) +
+ &Ґь\а>ь> (А, Р, к\ р')Ка,ь,(кі, р!)), (7.58)
где фДА) — форм-фактор, отвечающий собственной функции я|)ДА). Через ?1ш(к,р,к',р') обозначены сингулярные ядра, которые выражаются через парциальные Г-матрицы
356
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
и геометрические коэффициенты Наа* равенствами
0<±> *аЬ9а>Ь>(Ь Ь'*Е-р*+Ю) ь лто*<,Р'-
®аЬ,а>Ь> -= -кг\ + рЛ__Е_ Ю- Наа' v8)' ^ = агс^ "7
Здесь, в соответствии с данным в главе III определением (3.32) переменных к с аргументами, введены обозначения
7' 1 , Уз , , Уз 7, 1 ,
Если обрезать эту систему так, как это было сделано в предыдущем параграфе, то мы получим при каждом значении полного орбитального момента Ь систему уравнений конечного ранга. Однако даже в 'простейшем случае, когда потенциал действует только в ^-состоянии, численное решение этой системы, которая сводится к одному уравнению, представляет собой довольно сложную проб,-лему. Оставляя в стороне вопрос о вычислении парных Т-матриц с помощью сингулярных интегральных уравнений (7.21) и о дополнительных трудностях, обусловленных сингулярносгями ядер в самом уравнении (7.58), укажем лишь на следующее обстоятельство.
Как правило, интегральные уравнения решают с помощью конечно-разностной аппроксимации интегралов. Если взять даже не очень плотную сетку 30 X 30, то решение уравнения (7.58) даже в рассматриваемом простейшем случае сводится к обращению комплексной матрицы 900 X 900, которая не является разреженной, /Такая задача находится на првделе возможностей современной вычислительной техники. Чтобы обойти эту трудность, предложены различные аппроксимадионные методы. -Мы жзложим только один из таких методов, основанный на замене потенциалов v(r) сепарабельнымй приближениями.
