Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
оо убывает, как Ы~~2, т. е. va(x) ~ + О (е~г^)у
\х |
то короткодействующая часть амплитуды рассеяния /са представляется в виде суммы
/са(Я k) = /d(z, к) +Xcfs(#, ft)!*:!"1,
где, кроме сингулярного слагаемого %c/s, обусловленного действием потенциала на малых расстояниях, имеется дополнительная особенность /d, отвечающая дипольному потенциалу. При этом функция f s имеет конечный предел при \к\ -+0 и старшему члену в ее разложении по степеням энергии можно придать смысл длины рассеяния на потенциале va(x).
Приведем без вывода формулы, описывающие низкоэнергетическое поведение функции /d.
Пусть cos 6 = (к, к'), а ?>е — область хна сфере \к'\ = = 1, в которой cos-|->0. В этой области для функции /d справедливо представление
U(k', к) = (8щв)-Ч(1Л1, Ш±(к\ к)(1 + 0(\к\)), (7.12)
332 ГЛ. VII НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
мт,в) = ——(8шт; •
а функции Ъ± выражаются через угловую часть дипольного потенциала:
ь± (к', к) = ]" (х) =р е ¦>'^+"(±р).
Здесь знак плюс (минус) соответствует случаю кулонов-ского отталкивания (притяжения), а — единичная
полуокружность в плоскости векторов к' и к, на которой
/\ ~ /\ ^
(к-к',х)КО ((к-к\х)>0).
При к = — т.-е. в направлении рассеяния назад, функция /а имеет более сильную особенность при нулевой энергии по сравнению с рассеянием на другие углы:
М-?» = ^ УЩчШ\к\,п)Ь±(к)і (7.13)
здесь функция Ъ± представляется в виде
где ?+(?-) —единичная полусфера, на которой (х, к)>0 ((*,?)<0).
Переходный режим асимптотики функции /й в окрестности направления рассеяния назад описывается представлением
М$,к) =
= (зіпЄГЧОЛІ, в)С±(?', Й)^Фт(^Лсов8|}, (7.14)
в котором С±(к',к) ~Ъ±{к',%) при к!Ф—к, С±(—к,к) =
оо
= 2Ъ±Ш, Ф+— интеграл Френеля 2 ^ еіх2йт и Ф_ (?) =
= Ф* (і). Между угловыми особенностями, которые мы описали в § 1 главы V, и низкоэнергетическими особенностями имеется тесная связь. Именно: асимптотика при
в котором сингулярный при I к I 0 множитель 0(1 определяется равенством
§ 1. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ
333-
\к\ 0 угловой особенности (5.26), за вычетом чисто ку-лоновской ее части /с, в старшем порядке совпадает с угловой сингулярностью энергетической особенности /л:
к Ф, к) ~ (/(?', к) - /с {%', к)) |^0.
1?ри этом дипольная часть волновой функции г|)(#, к), определенная равенством (5.25), учитывает как все угловые особенности амплитуды рассеяния, так и старший член энергетической особенности, порожденной динольным взаимодействием.
Коротко обсудим некоторые вопросы, возникающие при вычислении амплитуды рассеяния на основе парциальных разложений волновых функций. При каждом заданном -значении момента / численное решение парциальных уравнений получить нетрудно. Например, можно использовать конечно-разностную аппроксимацию дифференциальных операторов. В результате задача сводится к обращению разреженной матрицы, в которой отличными от нуля будут лишь матричные элементы на главной диагонали и на примыкающих к ней диагоналях.
Однако метод парциальных разложений является эффективным лишь в том сдучае, если парциальный ряд -сходится достаточно быстро. Если потенциалы быстро убывают, фазы рассеяния, согласно (7.7), стремятся к нулю при д -> 0:
б,(д) ~ q2l+\ (7.15)
и поэтому при низких энергиях достаточно учитывать лишь несколько парциальных волн, чтобы получить амплитуду рассеяния с высокой точностью.
В отличие от нейтральных частиц, парциальные ряды в случае заряженных частиц сходятся медленно. Поэтому амплитуду рассеяния следует определять в виде суммы
/ = /с + №, (7.16)
.где кулоновская амплитуда известна в явном виде, а слагаемое /с^ задается разложением (7.10) с конечным числом N членов. В свою очередь парциальные амплитуды $1, сз вычисляются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений (7.8). Можйо показать, что эти амплитуды быстро стремятся к нулю при больших I, так что для достижения- высокой точности достаточно брать небольшое число членов /V, несмотря на то что при д
334
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
0 парциальные амплитуды не имеют дополнительных убывающих множителей типа (7.15). Отметим, что если потенциал содержит дипольные слагаемые, то в формуле (7.16) целесообразио^явно выделять такя^е и сингулярные члены /й, обусловленные дипольпым взаимодействием.
Парциальные Т -матрицы. Рассмотрим далее методы вычисления амплитуд на основе интегральных уравнений в импульсном пространстве. В отличие от дифференциальных уравнений, интегральные уравнения (3.4) плоха приспособлены для вычислений с локальными потенциалами. Они имеют сингулярные ядра, а отвечающие им матрицы, которые получаются после перехода к конечно-разностной аппроксимации, не являются разреженными. Поэтому локальный потенциал обычно аппроксимируют сепарабельными потенциалами, которые представляют собой интегральные операторы с ядрами
».(к, к') = 2 (к)'ШГ). (7.17)
3=1
При этом уравнение теории возмущений (3.4) становится уравнением с вырожденным ядром, и его решение сводится к обращению матрицы N XN. В частности, в случае сепарабельного потенциала первого ранга ядро Т-матрицы имеет простой вид:
