Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Кулоновские быстро осциллирующие интегралы. В конце этого параграфа мы докажем сделанные выше
люс (ка — к'а — й
ri-itie^e(0 + dp(ri-iti)f
(6,37)
§ 2. СИСТЕМА ТРЕХ ЧАСТИЦ 315
утверждения об асимптотике интегралов вида 1а
И /0.
Сначала мы изучим асимптотическое поведение эталонных интегралов вида
/, = | 'йр е{Ут'х) Ф (IV + Г, + * | * 11.) X
хи^(р), (6.38)
где р и х — /-мерные векторы, и = 1 — (/?, ъ — И — 1)/2 и интегрирование ведется по • единичной сфере в /-мерном пространстве. Параметры V и |х-вещественные, функция g(p) предполагается гладкой и равнрй нулю при и> 1:
g(p) =* 0, если р) ^ 0.
Предложение С- Дри УЕ\х\ -> оо справедлива следующая асимптотическая формула:
/«~ си (*, р) (/I | * 1)|>/'<хр 1+ 2/1 ^ |}-
(6.39)
где
Г — Г (Г' ^) р-яу-гя(гг/2+ц/4) °г — Г(^-+ц/2) С
Амплитуда А(х, р) дается интегралом
А(х,р) = ^ар80(х, р)§(]>), Р^УЕР, (6-40) где сингулярное ядро 50, определяемое равенством
^(р',р) = (1-(?',Р))-Г'+|У.
действует в локальных координатах и — 1 — (р, р') сдбере как обобщенная функция ?~1+г\
Докажем эту асимптотическую формулу. Введем на поверхности сферические координаты по отношению к оси х:
^={соз0, Мете), созв — и, р), Ме5(г-2). Элемент площади йр равен при этом
316
ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПОСТТОВАНИЯ
где dM — элемент площади на сфере «S('~2). Представим далее подынтегральную функцию в виде суммы gip) — g&) + (g(p) ~~ gix)) и рассмотрим сначала интеграл Д/, отвечающий разности Ag(p) = g(p) — g(x). Область интегрирования S^1"^ разобьем на две части и Я^, где —"окрестность точки р~-х, определяемой соотношением
1 - cos 9 < Ы~1/2+е, 8 > 0. (6.41)
Соответствующие интегралы обозначим через А/^ и A/j. Так как в области Q-j разность Ag подчиняется оценке |Д#(р)|^си, а мера этой области имеет порядок 0(\я|"~Гп+?'), 1 > е' > 0, интеграл Д/^ можно представить в виде произведения множителя | х |""Г/ёхр {i Уе\ х |} на стремящуюся к нулю функцию порядка | х \~\ е0 > 0. Следовательно, этот интеграл не дает вклада в старшие члены асимптотики.
В интеграле Д/~ функцию Ф(а, с, t) можно заменить старшими асимптотическими членами (5.3). При этом второе слагаемое в (5.3) порождает искаженную сферическую волну (6.39), амплитуда которой А^ дается формулой (6.40), где следует взять функцию Ag(p) вместо g(p). Интеграл §S0(x, р) Ag(p)dp существует в этом случае как несобственный. Асимптотическая форма интеграла, порожденного первым слагаемым (5.3), может быть найдена с помощью интегрирования по частям относительно переменной и. Нетривиальный вклад дает только точка и = 1, где Д# = — g{x). Мы обозначим этот вклад через б/i, но не будем приводить явных формул для него, так как в окончательной формуле сумма всех вкладов от точки и = 1 аннулируетоя.
Рассмотрим далее интегралотвечающий функции
g(x). В сферических координатах он принимает следующий вид:
h-S ( *) eiV*lxl Qi-2 J du u1"^ (2 - ufi"1 x
0
Xexp { — iVEu\x\}<?>(iv + p/2, rt + p, iYE\x\u).
$ 2. система трех части!*
31?
Здесь через ?2,-2 обозначена площадь поверхности (I— 2)-мерной сферы:
Прежде чем вычислить асимптотику этого интеграла, рассмотрим новый вспомогательный интеграл:
10 = §{х)Й,_,• 2Г^ | йииг^'г (2 - и)-1-1"х
О
Х^/5,х,(1"и)Ф(^ + р/2, п + р, 1УЕ\х\и).
Здесь выражение (2 — и)~1~™ понимается как обобщенная функция ?~1~гу, где ? = 1 — и. Видно, что особенность подынтегральной функции /0 при и = 0 совпадает с особенностью исходного подынтегрального выражения 1^. Однако, в отличие от/^, интеграл 10 может быть вычислен явно:
— 2\?— 1 _
/0 = ^(х)йг_22 8 в-^в1*1х
Г(-ког(г,+ .!±-) _
х г(-|у + г| + Д) Ф (^' П + "* 2'УЕ1 * °-
С другой стороны, этот интеграл можно представить .как сумму двух интегралов: /0 ==• 101 + /12, взятых по промежуткам [0, 1] и [1, 2]. При этом интеграл 101 является интегралом типа (6.38) — его асимптотика нам неизвестна. Во втором интеграле мы можем заменить вырожденную
ГИПергеОМетрИЧеСКуЮ фунКЦИЮ Ф(гЧг + р/2, Г[ + р, и1е\х\и)
асимптотикой (5.3). В результате этот интеграл принимает вид суммы обычных быстро осциллирующих интегралов типа (4.126). Его асимптотика легко вычисляется. Таким образом, мы получаем для интеграла 101, который имеет те же особенности, что и исходный (6.38), явное асимптотическое представление /01 ~ /о + /12. После приведения подобных членов получим сумму двух слагаемых. Одно имеет вид (4.39), где амплитуда А{х, р) дается формулой (6.40). В качестве функции g(p) в данном случае берется (1 — и/2)~1У~Г1. Второе слагаемое описывает вклад точки и = 1. Мы не выписываем его.
318
гл. vi. вопросы математического обоснования
Наконец, на основе этого результата получим асимптотику С этой целью запишем-1^ в виде суммы = 8=58 {^х ~ ^01) + ^01- Подынтегральное выражение первого слагаемого удовлетворяет оценке (6.41), и поэтому его асимптотика может быть исследована таким же образом, как и в случае интеграла Д/^.Получим сумму двух членов. Первый — искаженная сферическая волна (6.39), амплитуда которой имеет вид (6.40), где функцию g{p) следует заменить выражением g{%)((1 — и/2)~^~~г 1 — 1). Второй порождается точкой Такой же вид имеет
