Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
асимптотика интеграла /0ь При этом можно убедиться, что сумма указанных слагаемых, отвечающих точке и=*1, и подобных слагаемых, которые возникали ранее, равна нулю.
Таким образом, мы рассмотрели все слагаемые, на которые мы разбили исходный интеграл Собирая полученные представления и приводя подобные члены, придем к формуле (6.39).
Перейдем теперь к обоснованию формул (6.14) и (б.'Зб),
Заметим, что формула (6.14) непосредственно следует из предложения С при I = 3. Что касается первого члена в соотношении (6.9), то он описывает вклад точки и ==2, возникающий при интегрировании относительно и по частям. Аналогичное слагаемое имеется и в случае нейтральных частиц (см. (4.6)).
Докажем, наконец, формулы (6.23) и (6.36). Мы ограничимся более трудным случаем интеграла /0, Интегралы /А, А Ф 0, могут быть рассмотрены так же, как и двухчастичные выражения (6.9).
Очевидно, вклад асимптотических слагаемых Ф0, отвечающих гладким частям амплитуды рассеяния, может быть представлен в виде (6.36), так что нам достаточно рассмотреть только интегралы с функциями Ьс, ^?а и Ч^р. Асимптотика таких интегралов может быть найдена методом стационарной фазы. При этом плоский эйконал имеет две критические точки р=^±Х, где СР, Х) = ±|Х|, а однократный и двукратный эйконалы имеют по одной критической точке, где 2«='|Х|, Zаp=! |Х|.
Критическая точка плоского эйконала Р ~ —X порождает первое слагаемое в асимптотическом представлении (6.23). Остальные критические точки лежат в особых направлениях, где функции ?с, Ч1"» и Ч^р описываются
§ 3. обоснование нестационарной постановки
319
в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Мы можем, следовательно, применить предложение С, чтобы найти асимптотику интегралов по окрестностям направлений Qf, Я«) и Qa?-
В особых направлениях асимптотика функ-
ций Lc и Wa явно выражается через функции Ф(а, &, t) формулами (5.145') и (5.128). Применяя соотношение (6.39), получим слагаемые в асимптотической формуле (6.23), отвечающие амплитудам Fs и Fa.
Чтобы найти асимптотику интеграла, содержащего функцию Y'a?, мы можем применить метод, развитый при доказательстве предложения С. При этом, чтобы воспользоваться формулой (6.41), функцию ЧЧа, с, х) в (5.139) следует выразить через функцию Ф(а, с, х) при помощи формулы
Т ^ Ь> = Г?-1 + 1)Ф(а' &' +
+ Т-щ^}х1-ьФ(а-Ь + 1,2-Ь,х).
В .результате мы, как и в случае интеграла (6.38), придем к асимптотической формуле (6.39), где амплитуда -сферической волны выражается через обобщенную функцию (t — Ю)-1-*14 равенством (6.40).
Следует отметить, что при интегрировании амплитуд Fa и Fa? по угловым переменным мы должны положить равными нулю двухчастичные амплитуды /а в направлениях рассеяния вперед (ка, ха) — 1 для пары а. Это обусловлено тем, что в асимптотических формулахД5.128) и (5.137) данные амплитуды умножаются на срезающие функции, равные нулю при (ка, ха) = 1.
Этим утверждением мы заканчиваем исследование стационарной задачи рассеяния и переходим к исследованию соотношения между стационарным и нестационарным определениями волновых операторов.
§ 3, Обоснование нестационарной постановки задачи рассеяния
В этом параграфе мы покажем, что стационарные волновые операторы совпадают с нестационарными, которые определяются как пределы операторов эволюции. Тем самым мы дадим здесь обоснование постановки задачи рассеяния.
320 ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
Система двух тел. Покажем, что оператор u(t) = exp Uht) exp {—ihQt} сильно сходится и при этом
lim u(*) = u<±>, (6.42)
где.операторы u(±) задаются равенствами (3.22).
Для доказательства этого утверяедения достаточно установить, что справедливо соотношение
lim (*-**и<±>/, e^g) = (/, g), (6.43)
где / и g — гладкие финитные функции. Действительно, из (6.1) следует равенство
|(^*^Ь0*_и(±))/|2я
= 2 (/, /) - 2Re(u<±>/, e*h*e"iho'/)
и правая часть исчезает в пределе t -> ±<*>, если соотношение (6.43) выполняется.
Докажем теперь (6.43). Используя (6.1), преобразуем скалярное произведение в левой части (6.43):
(*-*Ыи<±>/, e-^g) = (u^g-'V/, e-iho*g).
Используя выражение ядра и(±) через Г-матрицу (3.22), найдем, что это скалярное произведение равно сумме скалярного произведения (/, g) и слагаемого
\dk dk' t(kAk,,S--f ei{h2-h,2)tf <*> ш
После интегрирования по угловым переменным и замены переменных к2 =*и, к'2 =*v интеграл принимает вид
\audvO(u, v)^{i(u-v)t)
и в силу (2.44) равен в пределе t -> ±оо нулю. Таким образом, соотношение (6.43) доказано.
Рассмотрим теперь систему заряженных частиц. Покажем, что оператор
u(t) = exp {u\t}LQ exp {—ip2t — iwt} сильно сходится, причем lim ult) = u^>,
§ 3. ОБОСНОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПОСТАНОВКИ
321
где волновые операторы п(т) определены равенствами (6.7) и w(=ti (р) sign t In Apzt.
Как и выше, достаточно доказать соотношение
Мы будем использовать координатное представление. Для определенности рассмотрим случай I — °°.
Пользуясь сплетающим свойством, изменим порядок операторов е~ш и п(+) и запишем скалярное произведение в виде предела при е I 0 интеграла
