Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда Ф2 = Р+Фь Ф3 = Р'Фь и, следовательно, разложе*-ние волновой функции на комноленты принимает вид
тр(Х) = (I + Р+ + Р-)Ф(Х), (7.24)
22 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
338 ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
где Ф зз Ф4. Отметим, что это представление обеспечивает симметричность волновой функции относительно перестановки любых двух частиц.
Отделяя начальное состояние %А, Ф = %А + ф, сведем систему уравнений (7.23) к одному неоднородному уравнению для функции Ф:
(-Д + и(х) - Е)Ф(Х) = -г(х)(Р+ + Р-Н%а + Ф). (7.25)
Следующим этапом является угловой анализ этого уравнения.
-* -*
Пусть 1 и Я — операторы орбитального момента нары частиц (23) и орбитального момента частицы 1 относительно центра масс пары (23) соответственно:
Ь=-*[*!, УЯ1], 1 = - 1[уи ЧУ1].
Собственными функциями этих операторов являются сфе-
рические функции У/ (я) и У^ (г/).
Переход в представление полного орбитального момента Ь = 1 + Я осуществляется но правилу сложения моментов
Ум (Я У) = 2 <гшгХтх | ЬМУ ?? (х) У? (у),
(7,26)
где через (1т{ктх\ЬМУ обозначены коэффициенты Клеб-ша — Гордана. Функции УаГ|, где через а обозначен муль-тииндекс, а = А,}, образуют базис в гильбертовом пространстве функций на четырехмерном торе 5(2) X 5(2), называемый бисферическим.
Пусть начальное состояние пары частиц описывается собственной функцией -фДг) с орбитальным моментом I. Тогда кластерная плоская волна может быть представлена в виде
% (X) = *? 2'*ХуГА' (Р) & ^ Хаь, (7-27)
где суммирование ведется по Я и ? при фиксированном I и через %0ь обозначена парциальная кластерная волна:
%«^и(\р\\у\ИМх\). (7.27')
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ 339
Чтобы провести угловой анализ уравнений (7.25), вычислим матричные элементы операторов Р± в базисе {^оь). Операторы Р* при действии на функцию координат изменяют значения аргументов:
где переменные х', у' связаны с исходными значениями х, у равенствами
^'--^х + У1у, у>^-Х^х-^у, (7.29)
в которых множители —1/2 и УЗ/2 представляют собой коэффициенты сар и 5аР для случая равных масс.
Разлагая правую часть приведенного выше соотношения для Р+ по угловым функциям ^агХх, у), получим представление
а —1
и = (Я у\
и теперь задача заключается в вычислении весовых функций ка'а-
Согласно (7.29) радиальная часть Фаь(Ь:/|, \у'\) зависит от направлений векторов х и у лищь через скалярное произведение (х,у)у и, следовательно, разлагая но полиномам Лежандра, будем иметь
^ПР = |(- 1>Ч« 1ГШ+1Ут& У) X
22*
Соответственно компонента Ф(х, у) может быть разложена в ряд:
»(».й-3%а|''|"Чд&й. <7-28>
340- ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
где коэффициенты •Оя1х2^г1г2 имеют вид
_(2Х+1)1(21 + 1)1_11/2
(2ХХ + 1)! (2Я2 +1)! (2гх-+1)1 (2!2+1)1 ]
х'-""У ¦ (7Л)
Наконец, объединяя найденную угловую функцию и
функцию УъМ{х,у) в угловую функцию °У\»1»ь(х,У)> получим следующее представление для оператора Р+:
х т |* <»' *^ х
X 21 [(2^ + 1) (21 + 1)(2кг + 1){21г -ь-1) (2к2 + 1) X
ал'
х(2*, + 1)]1/*|1,|Х1+'11*1,,+х»\11 12 Ч<-МВД2Л)> х
[К' Г ь)
X <Я20/20| *'0> 2 /(2Х' + 1)(2Г + 1)(2Л + 1) X л»;»
х <аоа,'о | к"оу <&ог'о| г"о> ?}<ух.,.ь (*,»).
С помощью легко проверяемого соотношения \ах + Ру\1У1 (ах + $у) =
- ,Ж,("1 г 1)11 <р 1 у ь'г (ктШ^Г Сх-л
псглучим следующую формулу:
УаьСх'Л')\х'\1\у'\к =
= 2 ^2А1122((2^+1)(2г+1)(2Х'+1)(2Г + 1)]1/2Х
|1+|2=|
хЬх С '[и^'М*!^''^^^?)®^!'^*)]!..
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ 341
Сравнивая с соотношением (7.30), определяющим ядро Ао'а(|;г|, \у\, и), находим
X [(2Х)! (2*)! (2Г + 1) (2Г + 1)]1/а X X 2 (-1ук(2А+1)Рк(«) 2 .а;,! х
X( /3)^+г1 [(2^)1 (2Х2)! (27,)! (2^)!р1/2 X х2(2Г + 1)(2Г + 1)(^ ^')(^ 0\Г)Х
Действие оператора Р~ определяется формулой (7.30),
В КОТОРОЙ ЯДРО 1Ъа'а> ДОЛЖНО, быть Заменено На (— 1)К+Х'?1ага.
Далее заметим, что потенциал v(x) диагоналей в базисе {'УаЛ:
(а!V | и | аЬ} = б^ба/^,^ (г).
Введем следующее обозначение для центробежного потенциала:
7(огЬ) _ , КК+1)
1*1 ы
Приравнивая коэффициенты при одинаковых базисных элементах, получим для радиальных компонент волновых функций бесконечную систему интегро-дифференциальных уравнений
(
(1*|)^ф«ь(1*!, ы>+4-21<1 + (-1)т")х
X Л*, (") (Ф0»Г ( 1 Ж' |, | У' | ) + Ха»Ь ( | *' |, | У' | )) Л*) • (7.33)
842 гл. vii. некоторые приложения
Радиальные компоненты Фаь определены в первом квадранте х > 0, у > 0 на двумерной плоскости и в силу (7.28) равны нулю на осях координат:
Фаь1а:=0 = Фаь1у=0 = 0.
Чтобы найти решение этой системы, соответствующее компонентам волновой функции, необходимо присоединить к ней асимптотические граничные условия. С этой целью разложим асимптотические представления (4.25)-г (4.28) для компонент класса ВЕа(ра) по бисферическому базису и учтем, что в силу пространственной изотропии амплитуды Рва и Роа не зависят от проекции орбитального момента. Получим асимптотические равенства
(7.34)
где р2 = х2 + у2, 0 = агс!# (\у\/\х\). Через %а1? обозначена уходящая кластерная волна, которая определяется соотношением (7.27), где сферическая функция Бесселя ]Л\<1\ Ы) заменена сферической функцией Ханкеля
