Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
^Шу\) = Ыд\\у\/2)1,2н^+1/А\я\\у\).
Коэффициенты /аа называются парциальными ам-
^ Ь ?
плитудами, а выражения 5аа0 == $аа0 + ^1аа0 — парци-альными Б-матрицами. Они описывают процессы упругого рассеяния и внутренней перестройки. Физические амплитуды Р(у,рА), согласно (7.34) и (7.28), выражаются через парциальные равенствами
v(у, Ра) =г~ 2 &*2?айь(рА)2а1 (у), (7.34')
I ^ I а,а0,Ь
где
Функции Ааь(О), называемые парциальными амплитудами развала, определяют компоненту полной амплитуды
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ
343
/^(Х, рА) с помощью соотношения
*гРА) = 1^1 2 ^<*' »> * V-(У-
(7.35)
Согласно (7.24) амплитуда развала равна сумме компонент:
^0(Х, Р) = (1 + Р+ + Р-)^(Х, Р). (7.35')
Эту амплитуду -.можно также задать в виде ряда (7.35), если воспользоваться соотношениями (7.30). При этом вместо функций Ааь в правую часть (7.35) следует подставить выражение
1
^ (9) = Аьаа (9) + \ ди 2 (9, и) А%а (9'),
о о _^ а, о
где 9' = arctg -р.
ОтмеТИМ, что аМПЛИТуДЫ /аа0 И ?&аа0 СВЯЗаНЫ МвЖДУ
собой соотношением унитарности
Л/2
1 = 21 ^ Г + 4-??) л 2 (в) А, (в).
а I ^ I ^ а
Таким образом, мы свели исходное дифференциальное уравнение в шестимерном пространстве (7.25) к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений (7^.33), где дифференциальный оператор действует по двум переменным, а интегрирование ведется по дугам окружностей с центром в начале координат. Чтобы проводить численные расчеты на основе такой системы, необходимо обрезать ее и рассматривать системы конечного ранга.
Это означает, что мы заменяем исходную задачу с потенциалом и(г) модельной задачей, в которой взаимодействие представляет собой матричный интегральный- оператор
по УГЛОВЫМ ПеременНЫМ. При этом МатрИЧНЫе Элементы
обращаются в нуль, начиная с некоторого значения двухчастичного орбитального момента. Эффективность такого приближения, конечно, должна провериться конкретными расчетами. Заметим, однако, что число парциальных волн, в которых действует потенциал, естественно брать равным числу слагаемых, дающих нетривиальный вклад в раз-
344
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ложение (7.5) двухчастичной амшгитуды рассеяния. Как мы отмечали, это число при низких энергиях является небольшим.
В результате для каждого полного момента L мы получим систему уравнений, ранг которой равен числу парциальных волн, где эффективно действует потенциал Vut. Для решения такой системы можно применить хорошо разработанные численные методы. Мы опишем один из таких методов, основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных и интегральных операторов.
Численное решение задачи рассеяния. Ради простоты сделаем обычное в задачах, ядерной физики предположение о том, чта частицы взаимодействуют только в s-co-стоянии (/ = 0). В этом случае 'отличными от нуля оказываются лишь матричные элементы вида <0АХЫ0АХ> = = v0(x). Последнее означаем, что в разложении (7.28) можно ограничиться суммированием только по тем индексам а = {Z, Я), у которых 1 = 0:
ф О * М * D - 2 ^]УГ 6 у). (7.36)
Мы предположим также, что двухчастичные подсистемы имеют по одйому связанному состоянию if>(r) = г_1ф(г) с энергией —%2. В этом случае система уравнений (7.33) сводится к совокупности независимых интегро-дифферен-циальных уравнений
(? + $-'W-^-*)<M..i>-
1
= v{x)\ duhL(x, у, и)(Фь(х', у') + %ь(х', у')); -1
х,у>0. (7.37)
Геометрическая функция hL = uJl,ol> вычисленная по формуле (7.32), может быть записана в виде
kL ху 4 I - 1 \
*'У' УЗ U sinG'/ Х
l
X 2 кЦЬ-к)\ Рк И( /3 cos в)й (sin Q)L-\ (7.38)
h=0 '
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ 345
где и = -(cos 20 + 2 cos 20')/(УЗ sin 9), х' = 4~(*2 - 2 /3"+ З*/2)172,
^ =-1(3^+ 2/3^ +г/2)172.
Для неизвестных функций Фь(х, у) должны выполняться граничные условия
ФЛх, у) U0 = Фь(я, У) = 0 (7.39)
и следующие асимптотические условия: Фь (х, У) ~ Яь^ (х) ехр + ш +
+ ^(f)eXp(^P>> (7'4°) Коэффициенты XL обычно записывают в виде Кь =
^ "^Г (^Lg2Z6L — О' где ^L называют коэффициентом поглощения,^ 8Ь — фазовым сдвигом. При этом ниже порога развала, Е < 0, коэффициент поглощения равен единице, а выше порога он меньше единицы. Отметим, что амплитуда упругого рассеяния в рассматриваемом случае выражается через парциальные амплитуды формулой, аналогичной (7.5):
Р(У, РА) = 2(2L + 4) XlPl (C°S 9)' {1М)
cos0 = (?/, рА).
Чтобы вычислить Фь(х, у), удобно использовать конечно-разностную аппроксимацию уравнения (7.37) в полярных координатах р=(х + г/2)1/2, 0 = arctg-—-. Этот выбор определяется прежде всего тем, что в полярных координатах наиболее естественно выглядит интеграл в правой части (7.37). Пусть сетка, которая определяет конечно-разностную аппроксимацию, имеет iV0 узлов на дуге р = const и iVp+1 узлов на луче 0 = const (рис. 20). Обозначим через %, % = ..., %N }, вектор, отвечающий значениям функции Фь в узлах сетки:
X е R*wf Nm = (Np + 1) NQ. (7.42')
346
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Уравнение (7.37) после перехода к конечным разностям можно записать в матричном виде:
