Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Сепарабельные потенциалы. Мы рассмотрим подробно только простейший случай сепарабельного потенциала первого ранга и начнем с редукции исходного шестимерного интегрального уравнения (7.56). Уравнение для парциальных компонент мы опишем позднее. Будем считать, что двухчастичный гамильтониан, отвечающий сепара-бельному потенциалу, имеет связанное сферически симметричное состояние, и через ф(&) обозначим соответствующий форм-фактор.
Как мы видели в § 1, Г-матрица в этом случае также задается'вырожденным ядром (7.18), и поэтому решение
§ 3. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 357
^ (р> ?) + р2 - Е - Ю
где, как и выше, переменные ка с аргументами означают якобиевы импульсы типа /Са» которые линейно выражаются через импульсы ра и р'^ равенствами (3.32), т. е.
к,(р, д) = -УЗр - 2д, Ла(д, р) = УЗд + 2/?,
Ла(«,/0 = -2р-ГЗд.
Заметим, далее,, что функция Д~1СЕ —д2) имеет полюс в точке д2 = ? — х2. Справедливо представление
А"1 (е — ?2) = а -
ц —Е — х2 — Ю'
в котором г; — гладкая функция. Поэтому полученное уравнение можно толковать как обобщенное уравнение теории возмущений типа (3.4), где ядро Й(р, 2?)г;(д) = «Й(р, д, Е) играет роль эффективного потенциала.
Следует отметить, что при положительных энергиях, т. е. выше порога развала ца три частицы, этот потенциал является сингулярной" функцией. Однако, как мы видели в главе III, его особенности {к\ (р, д) + р2 — Е -— Ю)""1, Отвечающие второстепенным сингулярностям ядер компактных уравнений (3.29), стираются при итерировании.
Согласно формулам, описанным в главе III, решение уравнения (7.60) на энергетической поверхности с точностью до множителя совпадает с амплитудой упругого рассеяния
Р(р, V') = -2я2<?(\р'\р, /), Е = р'2 - х2.
уравнения (7.56) имеет вид произведения
*1 (?,;>;) = «р (*1> с (л, (7.59)
где ядро р'^ удовлетворяет трехмерному интеграль-
ному уравнению
<? О», р') = б о» - р-) +1 ^'^У*- (7-бО)
Здесь функция ДСЕ) задается равенством (7.18), а ядро ?2(р>д, 2?) имеет вид
ф {ьг (р* д))[ф(аа ^; р)) + ф (^з(д' ^))]
358
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Сравнивая далее определение амплитуды развала ЕоУР,р'), кай вычета в полюсе (Р2 — z)-i резольвенты, с равенствами (4.32') и (7.59), придем к заключению, что компонента А^ этой амплитуды дается равенством
А (?, Р') = - е**'* (-^)1/2 ?3/4ф (к) <? (Р, р')
Полная амплитуда равна симметризованному выражению (1 + Р+ + Р"М1.
Таким образом, в *случае сепарабельных потенциалов первого ранга задача вычисления амплитуд рассеяния сводится к решению трехмерных интегральных уравнений (7.60). Если потенциал имеет ранг N, то мы получим систему из N уравнений, аналогичных (7.60).
Отделим в уравнении (7.60) угловые переменные р аналогично тому, как это было сделано в задаче двух тел. Заметим, что эффективный потенциал 0(р,р',Е) не является сферически симметричным. Поэтому, в отличие от (7.21), мы получим в данном случае бесконечную систему зацепляющихся одномерных интегральных уравнений. Последняя получается из (7.58), если заменить ядра парциальных Г-матриц выражениями (7.19) для сепарабельных потенциалов. Производя обрезание бесконечной системы, получим при каждом значении полного момента Ь систему конечного ранга. В частности, если потенциал действует только в ^-состоянии, то такая система сводится к одному уравнению. *Выпишем для примера уравнение при Ь = 0:
<?(р,р') =
= б (р - р') - | Й0 (?, д, Е) А~1 (Е - д>) (д, р'). Ядро й0(р, Ъ Е) задается сингулярным интегралом
(IрI, к I, Е) = | <?0 (р, д, р') (А* (р, д) + р*- Е)~К
Отметим, что это ядро при Е > 0 имеет логарифмические особенности. Последние можно вычислить явно, если
проинтегрировать по частям относительно ? = (р, #). Они имеют вид
1п((УЗ|р1 ±2\д\)2 + р2-Е).
§ 3. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
359
Функция Q(p,p',E) на энергетической поверхности совпадает с парциальной амплитудой упругого рассеяния:
а полная амплитуда выражается через них равенством (7.41). Аналогичное (7.35) соотношение имеет место между парциальными составляющими амплитуды развала A1^(p(k)Q(p,p',E)\
и полной амплитуды развала.
Итак, мы свели задачу вычисления амплитуд рассеяния к решению одномерных интегральных уравнений или систем таких уравнений. Этот метод широко применяется в физике. При этом существует много способов перехода от уравнений, имеющих сингулярные ядра, к уравнениям € гладкими ядрами. Мы, однако, не будем описывать их здесь. Эти вопросы решаются по стандартным схемам теории сингулярных интегральных уравнений, и им посвящена обширная литература.
Суперпозиция кулоновского и сепарабельного потенциалов. Если частицы заряжены и короткодействующие потенциалы сепарабельны, то система уравнений (7.56) также может быть записана в виде трехмерных интегральных уравнений (7.60). При этом ядро Q(p,q,E) выражается через двухчастичные Г-матрицы для суммы кулоновского и сепарабельного потенциалов. Чтобы пояснить возникающие при вычислениях на базе этих уравнений вопросы, рассмотрим для примера систему, в которой заряжена только одна пара частиц (23), а сепара-бельные потенциалы для всех пар одинаковы и имеют ранг 1. Будем цскать решение уравнения (7.60), антисимметричное по отношению к перестановкам частиц. Это решение может быть представлено в виде произведения (7.59), где функция Q(p,p') подчиняется уравнению <7.60) с
