Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
где первый член описывает вклад дискретного спектра оператора Н(ю, а второй — вклад его непрерывной ком-
(7.63)
§ 4 ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
363
поненты. Функция Q+(E) представляет собой след скачка связной части резольвенты [Rm(z)]c на непрерывном спектре. Если воспользоваться свойством «самосопряженности» резольвенты RiN)(z) = Rw (2), эту функцию можно представить как предел:
Q(+N) (Е) = lim sp Im [R(/v) (E + ie)]c%] (7.64)
где введено обозначение «мнимой части» оператора А: 2i Im А = А — А*.
Следовательно, задача сводится к тому, чтобы выразить функцию через операторы рассеяния для системы ./V тел и для ее подсистем. Соответствующие формулы в математической литературе принято называть формулами следа. Посмотрим сначала, как решается эта задача в случае системы двух тел.
Второй групповой интеграл. Второй групповой интеграл дается равенством
A>4o-Lsp(e-№-r№of (7.65)
где для операторов энергии в' системе двух тел использованы обозначения, которые мы ввели в § 1 главы III. Соответственно формула (7.64) принимает вид
со+ (Е) = lim со (Е -(- je),
где
2т (z) = sp Im (r(z) — r0(z)).
Получим прежде всего ряд подготовительных тождеств. Рассмотрим унитарный оператор
Преобразуем этот оператор следующим образом. Сначала воспользуемся очевидными соотношениями
^ = I + 2ier(Z), j^ = I_2*er0(z).
Затем выразим резольвенту через Г-матрицу: I + 2гегЫ = I + 2ier0(z) - 2ieroU)t(z)r0U),
364
ГЛ VII НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
и упростим получившееся выражение с помощью тождества
21ет0 (*) (?) = го {г) - го (?). (7.67)
После приведения подобных членов получим следующее представление:
§(:г) = I - 2№г0Ы1;Ыго(?). (7.68)
Дифференцируя выражение
относительно /?, придем к заключению, что для со (я) справедливо представление
21са (г) = ^эр 1п<ф).
С другой стороны, в силу унитарности оператора §(2) правую часть этого равенства можно представить в виде следа:
гйМ-зрв*^)^. (7.69)
При этом для оператора §(?) можно использовать представление (7.68). Данное соотношение будем называть-осно-вной подготовительной формулой.
Перестроим теперь правую часть (7.69) таким образом, чтобы предел (о+(Е) можно было бы непосредственно выразить в терминах оператора рассеяния.
Введем ряд новых обозначений. Вместо оператора рассеяния в этой задаче удобно использовать матрицу рассеяния, которая. была определена в § 6 главы П. В случае системы двух тел это — интегральный оператор я(Е), который действует в гильбертовом пространстве функций, квадратично интегрируемых на единичной сфере ?2(?(2)^. Оператор б(Е) является унитарным при каждом1 значении энергии Е. Ядро матрицы рассеяния $(/?, р\ Е) выражается"*че,рез Г-матрицу на энергетической поверхности равенством
з(р% р7, Е) = б (Я Р) - пЫШ(1Ер, У Ер, Е + Ю). (7.70)
Через мы будем обозначать производную ?-мат-
рицы по параметру Е. Она задается ядром (7.70), про-
§ 4 ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 365-
2ш+ (Е) = — 2ш j dp 8 (р2 — Е)ЕГ
1/2 х
х Е*ч (Ve3,Vep,e + ю)+
+ {2in)2\dpdpf o(p2-e) x
x o(p'2 - e)t{p,p',e+ iO)X
x ?~1/2 ^ e1/2t (УЕрУЕр\Е+ iO). (7.74)
Это соотношение можно записать следующим образом и. терминах ^-матрицы:
(й+(2?) = J-sps*(2?)^. (7.75)
дифференцированным относительно Е при фиксированных р и р'.
Обозначим через оператор, задаваемый ядром
V»* (р, р', *) = I р и + ^ + 4ш) 1^1 * р'« 5+
где дифференцирование ведется по радиальным переменным рг и р'2 при фиксированных угловых р и р . Отметим, что на энергетической поверхности р2 ~ р'2 = Е~ ядро оператора V0t(JEr-t-Ю) совпадает с ядром сШератора
Перестроенная подготовительная формула, о которой мы говорили выше, имеет -следующий вид:
2т (7.71)
где операторная функция к0(Цг)) определяется равенством
к0 ^ (*)) = - 2шг0г*У01 - (2*е)2 г0г^*г0ГоЧ* • (7.72>
Здесь в правой части опущена переменная z — E+iг и использовано равенство г0 (г) = г0 (я).
Отсюда немедленно вытекает искомая формула следа. Действительно, переходя в соотношении (7.71) к пределу е \ 0 и учитывая соотношение
2гег0 {Е + 1г) г* (Е + (г) -н- 2я* б (р2 — Е), (7.73)
мы выразим (о+(Е) через Г-матрицу на энергетической: поверхности:
366 ГЛ VII НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
След в данном случае понимается как след интегрального оператора в ?2(#(2)), т. е.
вр^ = §(1рА(р,р).
Итак, нам осталось проверить соотношение (7.71). Заметим прежде всего, что основную подготовительную формулу (7.69) можно переписать в виде
2т (г) =
= — 21г-^ эрг0г*г — (2^)2 ер г0г*г* ^ г0г*1,. (7.76) Действительно, это вытекает из равенств
. * * д . * * * д * _
ер Г01 Г0 -щ Г01Г0 — зр г0г0г г0го^ ==
.* * *2 * * *2 л
= ерт0ь т0т0гт0 — ерг0г0г г0г0 г = О,
тде использовано свойство перестановочности операторов I и V*:
1г0г*1* = 1*г6г0*1. (7.77)
Рассмотрим подробно первый член в (7.76):
Введем сферические переменные интегрирования \р\, р, так что йр = р2<2|/?| Д ^Р- Дифференцируя первый сомножитель, перейдем к дифференцированию по р2:
Л__1____д__1
дЕ (ра _ я)* + 82 - д/ (р2 ^а + Еа.
и проинтегрируем по частям относительно р2. В результате этого преобразования немедленно придем к первому слагаемому формулы (7.74). Аналогичное преобразование во втором члене (7.76) дает
