Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Q (р, р>, Е) - 2 -
_Ф(&! (р> д))ф(&! 0Л я))_
(*? (Р, q) + P*-E- 10) (к* (/Л q) + р'2 - Е - Ю) Х
X[*(M?f Р), h (q, р'), Е — ? + Ю)-
- t (к9 (g, р), к3 (- ?> - р'), Е-ф + Ю)].
360
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Через искомое ядро выражаются полная трехчастичная Г-матрица и амплитуды упругого рассеяния. При этомг однако, в отличие от ^нейтральных частиц, здесь необходимо провести перенормировку ядра Q(p,p') в согласии с процедурой, описанной в главе IV.
Напомним, что наиболее сингулярный член в ядре Q(p,p',E) при отрицательных энергиях совпадает с чисто кулоновским потенциалом, описывающим взаимодействие свободной частицы со связанной парой. Поэтому, если сделать замену
t{p,p\E)-+ у^-2 (\р-р>\-г + ц»),
то первая Г-матрица t(k, к', Е) перестанет зависеть от переменной интегрирования q, в то время как во второй,, обменной Г-матрице t(k — к', Е) такая зависимость останется, и ее особенность сгладится после интегрирования.
В результате мы видим, что при \х ->¦ 0 ядро й(р, р\ ЕУ содержит сильную кулоновскую особенность
Q.ing (р, р' , е) = ^5 |р-Р'Г2(//г-я-и2- ю)~\
которая совпадает с ядром двухчастичного уравнения теории возмущений для кулоновской Г-матрицы. После описанной в § 4 главы IV неренормировки Q е~{ц ln *Q мы можем получить отсюда амплитуду упругого рассеяния.
Отметим, что в рамках этой модели может быть описана система из двух протонов и нейтрона: На основе перенормированных уравнений могут проводиться численные расчеты длины рассеяния и амплитуды упругого рассеяния при энергиях ниже порога развала на три частицы. Выше порога эти уравнения становятся некомпактными в силу причин, подробно рассмотренных в главе III.
§ 4. Групповые интегралы
В этом параграфе мы рассмотрим задачу, которая может служить хорошим примером использования методов квантовой теории рассеяния в других областях теоретической физики. Это — задача о вычислении групповых интегралов и тесно связанных с ними вириальных коэффициентов в квантовой статистической физике.
$ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 361
N=0
Коэффициенты АН(Т), зависящие от температуры Т, называются вириальными коэффициентами.
Групповые интегралы определяются как коэффициенты ВМ(Т) в разложении давления по степеням активности ?:
оо
2 ^ (^)
N=1
При этом вириальные коэффициенты выражаются через групповые интегралы с помощью соотношений
___*п V._* I ТТ (( + ' •
а г г
Здетя& суммирование производится по всем разбиениям а системы N частиц. Через щ обозначено число подсистем
N
разбиения а, состоящих из Ь частиц, так что 2 1Щ = Выпишем первые два соотношения:
А2 — В27
А3 = - 2В3 + ЬВ\.
Групповые интегралы в квантовой статистической физике выражаются непосредственно через операторы энергии системы N тел Н(*° и операторы энергии для разбиений Н(а^\ Например, в случае статистики Больцмана имеет место формула*
В» - ^ 2 (- 1)^П{_1 (2 Щ -1 ]! X
х(е рн° -е~рно ), (7.62)
Постановка задачи. Начнем с определения групповых интегралов и вириальных коэффициентов. В теории неидеальных газов систематически используются вириаль-ные разложения — представления давления р в виде ряда по степеням плотности у-1:
оо
24у+1(7>-». (7.61)
362
ГЛ VII НЕКОТОРОЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
где суммирование ведется по всем разбиениям ак (к = = 1,2,..# — 1) системы ./V тел. Здесь параметр р пропорционален температуре, § = кТ, и_ через К обозначена т^к называемая тепловая длина волны. Аналогичные соотношения справедливы также для статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Мы будем заниматься вычислением групповых интегралов только в статистика Больцмана. Обобщение на другие типы статистик делается по стандартным рецептам, и мы не будем обсуждать их здесь. Все необходимые для этого формулы подробно выводятся в учебниках по статистической физике.
Таким образом, в определение групповых интегралов
входит след от связной части операторов е~^н( \ Напомним, что понятие «связная часть» было введено нами в главе II, где мы классифицировали особенности резольвенты. Ясно, что групповые интегралы тесно связаны со спектральными характеристиками многочастичных гамильтонианов. Например, их можно выразить через волновые функции, если воспользоваться соотношениями (1.36). Нетривиальным является утверждение, что эти характеристики сводятся к операторам рассеяния. Обоснованию этого утверждения и будет посвящен данный параграф.
Точнее, задача состоит в том, чтобы явно выразить групповые интегралы через операторы рассеяния. Мы получим соответствующие формулы для второго и третьего групповых интегралов. Для остальных N1 7У>4, такие формулы неизвестны. Можно, однако, принять гипотезу, что групповые интегралы ВК, N > 4, так же как и третий групповой интеграл, явно выражаются через оператор рассеяния системы ./V тел и операторы рассеяния для ее подсистем.
Итак, приступим к вычислению групповых интегралов. Начнем с простейших преобразований формуль! (7.62): Используя соотношение между резольвентой и фуйкцией самосопряженного оператора (2.6), мы можем записать групповой интеграл в виде суммы
