Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
положительной функцией переменных z3, .
. . ., zn и o' независимо от вида допустимой характеристики / (а). Кроме
того, функция V определенно-отрицательна и при выполнении условия (8.5)
она удовлетворяет всем требованиям теоремы Барбашина - Красовского (см. §
2.3) (квадратичные формы, входящие в функцию (8.23), стремятся к
бесконечности при | z | -> оо, а интеграл стремится к бесконечности при |
а | -> оо в силу условия (8.5)).
Прежде чем перейти к выводам, сделаем одно замечание относительно
уравнений (8.25). Положительное число е можно выбрать сколь угодно малым.
Поэтому в силу непрерывной зависимости корней уравнения от его
коэффициентов наличие числа s не может изменить характера этих корней. На
этом основании слагаемые г8к можно просто отбросить и вместо уравнений
(8.25) рассматривать следующие уравнения (при 8 = 0 все уравнения имеют
одинаковую структуру):
** + 2а, т^г-) = 0 [(к = 1,..., п). (8.27)
i=i к 3
Теперь можно сформулировать теорему.
Теорема Лурье. Если система квадратных уравнений
(8.27) имеет хотя бы одно решение а3, а2, . . ., ап, в котором
комплексно-сопряженным значениям %, = Я;-+1 (к = = 1,3, . . ., 2s - 1)
корней характеристического уравне-
§8.4. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
275
ния (8.16) отвечают комплексно-сопряженные числа ак ¦ ак-+1 (к - 1, 3,
. . 2s - 1), а вещественным корням
k^+k (k = 1, . . •, п - 2s) отвечают вещественные числа %s+к (/с = 1, ¦ ¦
•, п - 2s), mo система регулирования (8.20) абсолютно устойчива.
Заметим, что определять корни уравнений (8.27) не нужно, достаточно найти
условия, которым должны удовлетворять параметры системы, чтобы
соответствующее решение существовало.
До сих пор мы предполагали, что все корни характеристического уравнения
(8.16) различны и имеют отрицательные вещественные части. Рассмотрим
теперь случай, когда среди этих корней имеется один нулевой корень, а
остальные корни удовлетворяют прежним условиям. В этих предположениях
уравнения возмущенного движения (8.20) примут вид (предполагаем, что Хп =
0)
•2(с = Мк + (а) $ = • • м п~ 1)>
Z" = / (<*).
"-1 (8.28)
Ь= 2 ekzk + enzn - rf (о).
fc=l
Число 6" не должно равняться нулю, так как в противном случае zn = 0 и zn
- const, т. е. будет отсутствовать асимптотическая устойчивость. Поэтому
на основании условия (8.21) полагаем бп = 1.
Докажем теперь, что коэффициент еп должен быть отрицательным.
Действительно, рассмотрим линейную характеристику
/ (от) = ка,
принадлежащую к классу допустимых характеристик.
Из условия of (а) = ко2 Д> 0 следует, что к 0. Составим
характеристическое уравнение системы (8.28) при / (о) = ка (напомним, что
Хп = 0, б" = 1):
к - Xi. 0 0 - к?ц
0 . ¦ь-Vi 0
0 . 0 К - к
- ei . • еп-Л ~еп % + кг
Если раскрыть определитель, то коэффициент при старшем члене будет равен
-} 1. Найдем свободный член
10*
276 гл. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ап = А (0). Имеем
- Aj . 0 0 -
ап = Д (0) = 0 . • ^П-1 0 " кЬп-1
0 . 0 0 - к
• - еп-1 - е п кг
Раскрывая этот определитель по элементам предпоследней строки, а
полученный при этом минор - по элементам последнего столбца, найдем
ип ~ кеп ( 1)п *^1^2 • • • кп-1*
По условию все вещественные части корней отрицательны, следовательно,
произведение (-. . . . . , Xn-i будет положительно. Учитывая к тому же,
что к 0, найдем, что знак свободного члена характеристического уравнения
для линейной характеристики совпадает со знаком - еп. Из условия Гурвица
должно быть ап 0, следовательно, еп < 0, что и доказывает сделанное
замечание.
Функцию Ляпунова для этого случая можно взять в следующей форме (ср. с
уравнением (8.23)):
П-1 П-1
y-zz-m-z"
ь J fr==1
l-1-2*?
У А+к + enzl - / (о) da. (8.29)
е VI 2 .1
2
*г=1
При еп < 0 это будет определенно-отрицательная функция всех п -1-1
переменных zl7 . . ., гп_х, zn, а. Производная по времени от функции F,
вычисленная в силу уравнений возмущенного движения (8.28), будет иметь
тот же вид, что и (8.24), если заменить в ней п на п - 1; переменная же
zn в выражение V не войдет. Поэтому если подчинить постоянные числа ах,
а2, . . ., ап_х условиям
(8.27), то производная V будет знакоопределенной функцией п переменных
zx, . . ., zn_x, а и знакопостоянной функцией всех п + 1 переменных zx, .
. ., z"_x, zn, а.
Производная V обращается в нуль при z1 = . . . . . . = z"_x = а = 0, т.
е. на оси zn. Так как эта ось не является целой траекторией возмущенного
движения (функции zx = ... - zn_x = о = 0 не обращают урав-
§ 8.5. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
277
нения (8.28) в тождества), то выполнены условия теоремы Барбашина -
Красовского об асимптотической устойчивости в целом (см. § 2.3).
Из всего изложенного следует, что при наличии одного нулевого корня
критерии абсолютной устойчивости получаются из квадратных уравнений
(8.27), но с заменой п на гг - 1. Кроме того, нужно потребовать, чтобы
коэффициент еп удовлетворял условию
В заключение этого параграфа остановимся кратко на системе прямого
