Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
квадратная неособенная постоянная матрица, получим
Ау - ААу + Ъи, а = с' Ау.
§ 9.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИЙ
289
Отсюда
у = ЛЧ<4Лг/ -f A~lbu, сг = с'Ау. (9.8)
Полагая у = ру и выполняя последовательно очевидные преобразования,
получим
у = - Л-1 (А - Е рУ1Ьи.
Теперь находим
<г= - с'АА~\А - Ер)~лЪи = - с'(А - Ep)~lbu.
Из этого равенства видно, что передаточная функция преобразованной
системы (9.8) равна передаточной функции W (р) исходной системы, иными
словами, передаточная функция инвариантна относительно линейного
преобразования.
Если в передаточную функцию (9.3) подставить р = ш, где г = Y-1' а м -
вещественное число, то получим функцию РЕ(ш), называемую частотной
характеристикой системы(9.1). Функция W(ш) имеет простой наглядный смысл.
Действительно, пусть "вход" и (t) представляет возмущение, изменяющееся
по гармоническому закону.Представим его в комплексной форме и = геш, где
г - амплитуда возмущения, а рис# 9 2
еш - комплексный гармонический сигнал частоты и. Подставим это значение
для и в равенство (9.2), заменив в нем предварительно р на iи. Имеем
а = W (ico)rei<0(.
Равенство (9.2) можно рассматривать как дифференциальное уравнение,
эквивалентное системе (9.1). При гармоническом возмущении частное решение
этого линейного уравнения будет определять вынужденное колебание той же
частоты со, но другой амплитуды R при сдвинутой фазе (предполагается, что
знаменатель передаточной функции (9.3) не имеет корней, равных со). Из
этого следует, пто "выход" сг можно представить равенством
290
ГЛ. IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
где ф - сдвиг фазы. Сравнивая полученные два выражения для "выхода" о и
представляя частотную характеристику в следующей форме: W (гсо) = | W
(гсо) | eiarew, получим
R = | W (гсо) | г, ф = arg W (ш).
Таким образом, модуль частотной характеристики равен отношению амплитуды
вынужденного колебания на "выходе" системы к амплитуде гармонического
возмущающего воздействия на ее "входе", а аргумент частотной
характеристики равен сдвигу фазы вынужденного колебания.
Выделим в W (ги) вещественную и мнимую части: W (ш) = и (со) + iv (со).
(9.9)
На плоскости (u, v) при изменении ю конец вектора W (ion) описывает
кривую, представляющую собой годограф частотной характеристики (она
называется также амплитудно-фазовой характеристикой системы).
Для примера 1 имеем (с. 288)
1 3 - т
W (г") = to+~3 = со2+ 9 •
Поэтому
3 W
и = со2 + 9 ' у (") = - со2 Д- 9
и годограф частотной характеристики при изменении со от 0 до + оо
представляет полуокружность, изображенную на рис. 9.2. Действительно,
исключая из последних равенств параметр со, получим
(.--Й'+Нт)'-
§ 9.3. Критерий Найквиста устойчивости
линейной системы
Положив в системе (9.1) и = - he, где к - постоянная, получим однородную
систему
П п
'j'a - U&,j*r} hba CjXj (cc = 1, . • . , Tl), (9.10)
j=1 j=l
которую, в отличие от разомкнутой системы (9.1), называют замкнутой. Если
система (9.1) схематично изображается рис. 9.1, а, то замкнутой системе
(9.10) соответствует рис. 9.1, б.
§ 9.3. КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА
291
Попытаемся выяснить, при каких значениях параметра к. замкнутая система
(9.10) асимптотически устойчива, т. е. все корни ее характеристического
уравнения имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, лежат
в левой полуплоскости.
Например, для асимптотической устойчивости уравнения
х -f Ъх = -кх (9.11)
необходимо и достаточно, чтобы к у> -3. Действительно, в этом случае
корень -(к + 3) характеристического
Рис. 9.3
уравнения будет отрицательным. Для систем более высокого порядка
поставленный вопрос не тривиален.
Ответ на него и дает критерий Найквиста. Оказывается, об асимптотической
устойчивости замкнутой системы
(9.9) можно судить по поведению частотной характеристики W (ш)
разомкнутой системы (9.1). Ограничимся случаем, когда полином Qn (р),
стоящий в знаменателе передаточной функции (9.3), имеет все корни в левой
полуплоскости, т. е. разомкнутая однородная система асимптотически
устойчива.
На плоскости u, v построим вектор JK, выходящий из точки (-1/к, 0) и
оканчивающийся в точке (и (со), v (to)), лежащей на годографе частотной
характеристики. При изменении о> угол ф между этим вектором и осью
абсцисс будет меняться. Критерий Найквиста утверждает, что для
асимптотической устойчивости замкнутой системы (9.10) необходимо и
достаточно, чтобы приращение Дф угла ф при изменении от 0 до -j-оо
равнялось нулю. На 9.3, а, очевидно, Дф = 0, а на рис. 9.3, б Дф = 2л.
292
ГЛ. IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
Для частотной характеристики, изображенной на рис. 9.2, Лф = 0, если
точка (-1/к, 0) лежит вне диаметра полуокружности, и Дф = л, если эта
точка лежит на интервале (0, 1/3). Таким образом, для асимптотической
устойчивости уравнения (9.11) необходимо и достаточно, чтобы -1/к < 0
либо -1/к ]> 1/3. Отсюда получаем неравенство к -3, установленное ранее:
из элементарных соображений. Доказательство сформулированного критерия
Найквиста можно найти в книге Е. П. Попова [44].
