Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
регулирования. В канонических переменных уравнения (8.7) имеют вид
zk = ^-kzk + $k / (or),
Функцию Ляпунова для этой системы можно взять в форме (8.23), только без
интеграла. Тогда, повторяя почти в точности все выкладки, придем к
следующей системе квадратных уравнений для определения постоянных "!,...,
а":
Если существует решение этих уравнений, удовлетворяющее вышеупомянутым
условиям, то система регулирования (8.31), а вместе с ней и система (8.7)
будут абсолютно устойчивы.
§ 8.5. Определение условий абсолютной устойчивости. Пример
В общем случае решение системы квадратных уравнений (8.27) представляет
значительные трудности. К настоящему времени существуют обозримые решения
для п < 6. Мы рассмотрим частный, но имеющий большое значение для
многочисленных приложений случай двух квадратных уравнений (8.27); при
этом будем предполагать, что 6Х = б2 = 1 (см. равенства (8.21)). Положив
е,г < о.
(8.30)'
П
<У= Si "А.
(8.31)
278 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
в уравнениях (8.27) к = 1, а затем к = 2, получим
Требуется определить, каким условиям должны удовлетворять числа Я,!, Я2,
elt е2 и г, чтобы эти уравнения имели решение указанного ранее вида.
Следуя А. И. Лурье (см. [33]) преобразуем уравнения (8.33). Для этого
разделим сначала первое уравнение на Я2, а второе на %2 и полученные
результаты сложим почленно. Тогда получим
Третий член, очевидно, равен - 2а1а2/Я1Я2. Объединяя его с первым членом,
получим
Если и К2 вещественны, то числа а1 и а2 должны быть тоже вещественными,
если же Я2 и Я2 комплексно-сопряжены, то ах и а2 должны тоже быть
комплексно-сопряженными числами. Поэтому величина, стоящая в круглых
скобках равенства (8.34), вещественная, а ее квадрат должен быть
положительным числом. На этом основании правую часть равенства (8.35)
необходимо подчинить условию
Считая в дальнейшем, что это условие выполнено, положим Г = + /Г". Тогда
одно квадратное уравнение
(8.33)
Это равенство можно записать еще и так:
(8.34)
где
(8.35)
(8.36)
§ 8.5. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 279
(8.34) распадается на два линейных уравнения
т?- + ^-=г + ^ т + -5-=-г+'А;г- <8-37>
Вычтем теперь почленно из первого уравнения (8.33) второе уравнение
/2 2 ч
- ------ц-J + 2 У> (ах - а2) + ех - е% = 0.
Легко видеть, что это равенство можно представить в следующей форме:
- h (уг - l2 (yv - =¦ г (Ьа - h) + е*~ е,.
(8.38)
Два линейных уравнения (8.37) и одно квадратное уравнение (8.38)
эквивалентны двум квадратным уравнениям (8.33).
Рассмотрим вначале случай, когда оба корня ^ и %2 - комплексно-
сопряженные числа. Введем новые переменные х и у, определив их
равенствами
У г ?L = x + iy, У г ^- = x - iy. (8.39)
В новых переменных уравнения (8.37) и (8.38) примут вид
2х = У г - Г, 2х = у г + Г,
(К - К) (х2 - У2) - + К) ХУ1 = г (К - ^i)'+e2 - еа.
(8.40)
Разделим третье уравнение на (Х2 - ^):
х2 - у2 + 2хху = г + ,
где в сделанных предположениях коэффициент
х==х1±я1. (841
Ах - Ag
является вещественным.
Последнее уравнение представим в следующем виде:
(1 + X2) X2 - (хх - у)2 =г г + 52 ~ Г1 .
А2 - Ах
Введем еще одну переменную z, положив Ш - у = У 1 + x2z,
280 гл. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО регулирования
Теперь уравнения (8.40) примут свою окончательную форму
2х - \Гг - Г, 2х = ]fг + Г, (8 4?)
z3 - х2 = 0,
где вещественное число 0 определено равенством
о 1 / , "2 - "1 \ г (X2 - Xi)2 + (<?2 - ei) (Ха - Х0
° - 1 + X2 V + Ха - Xl / 4ХхХа
(8.43)
Уравнения (8.42) получены из уравнений (8.33) в предположении, что корни
Хх и Х2 комплексно-сопряженные. Легко видеть, что точно такие же
уравнения мы получим и при вещественных корнях Хх и Х2. Нужно только в
равенствах (8.39) заменить х ± iy на х ± г/, в равенстве
(8.41) отбросить число г, а переменную z определить равенством кх -f-
у - У у? - 1 z. При этом параметр 0 будет по-прежнему определяться
выражением (8.43). Таким образом, уравнения (8.42) эквивалентны
уравнениям
(8.33) при любой структуре корней Хх и Х2 (общие предположения о том,
что Re Xj -< 0 и Re Х2 < 0 и что Хх Ф Х2, остаются в силе).
На основании теоремы Лурье можно сделать следующий вывод: если уравнения
(8.42) имеют хотя бы одно вещественное решение относительно переменной г,
то система регулирования абсолютно устойчива (переменная х, согласно
первым двум уравнениям, принимает только вещественные значения).
Из первых двух уравнений (8.42) найдем
*=4(^±d-
Внесем это выражение для х в последнее уравнение и решим его относительно
z2:
z2 = 0 + 4ЛУг±Т)2. (8-44)
Из этого равенства видно, что при 0 0 величина z2
будет положительна, a z вещественно. Это означает, что при 0 0
система регулирования абсолютно устойчива.
Рассмотрим теперь случай 0 < 0. Из равенства (8.44) видно, что для
вещественности переменной z нужно потребовать, чтобы параметры Г и 0
удовлетворяли
§ 8.5. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 281
условию
О _1___
4
е+4-(^±г)2>°-
Учитывая, что Г 0, достаточно в скобках взять верхний знак. Таким
