Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 85

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 101 >> Следующая

синус.
К уравнению (7.109) сводится, в частности, изучение систем, жесткость
которых периодически изменяется с помощью релейного устройства. Для нас
эта задача представляет интерес не только потому, что ее решение может
быть использовано для анализа устойчивости движения конкретных систем, но
также потому, что на ней будет показано построение для одного периода
[0, Т] фундаментальной матрицы решений X (t), удовлетворяющей
условию
(7.55), построение матрицы А = X (Т), характеристического уравнения
(7.64) и определение условий устойчивости решения * = = 0, ? = 0.
В уравнении (7.109) число 8 равно глубине пульсации, а число б равно при
б > 0 и е = 0 квадрату частоты к собственных колебаний, т. е. б = к2.
Совместим начало отсчета времени t с началом какого-либо периода Т. Тогда
для первой части периода 0 ^ t ^ Тг уравнение (7.109) принимает вид
х + (к* + г)х = 0 (0 < t < 7\), (7.110)
а для второй части периода
х + (/с2 - е)* = 0 (T^t^T). (7.111)
Рассмотрим сначала уравнение (7.110). Полагая, как и прежде, х1 = х, х2 =
?, мы сведем уравнение (7.110) к системе двух уравнений первого порядка
гх = *2, ?2 = -Щхх (0 < I < Т), (7.112)
где
к\ = к2 + е. (7.113
Система (7.112) решается элементарно. Два линейно независимых решения
этой системы, удовлетворяющих условиям (7.55), будут
1
яц = соskit, *12 = дг- sin к^, (7 114)
*2i = - fc] sin k^t, *22 = cos kit
(напомним, что первый индекс означает номер функции, второй -
номер решения).
Таким образом, на первой части периода фундаментальная матрица решений
(7.51) принимает вид
1
cos kit sin kit
X(t) =
¦ ki sin kit cos kxt
(0<I<Ti). (7.И5)
Очевидно, что X (0) = E (условие (7.55)).
Перейдем ко второй части периода Т1 ^ t Т. Уравнение (7.111) при прежней
подстановке перейдет в систему вида (7.112) с заменой к^ = /с2 + е на
к^=к2 - е:
?1 = *2, .?2 = -^2*1 (Тг t < Т). (7.116)
§ 7.7. СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ 259 В общем решении этой
системы
подберем постоянные интегрирования (\ и С2 так, чтобы оно определяло
первое частное решение. Для этого решение (7.117) должно совпадать с
решением хп, х.п из (7.114) при f = Ух. Имеем
Подставляя значения С1 и С2 из этих равенств в (7.117), найдем первое
частное решение уравнений (7.116) на втором участке периода Ух ^ t < У
(мы выписываем сразу второе частное линейно независимое решение,
полученное аналогичным образом):
Эти выражения определяют элементы фундаментальной матрицы X (t) на втором
участке периода Ух t ^ У. Если в (7.118) положить t = У, то получим
элементы матрицы А = X (У) - см. (7.61). Составим характеристическое
уравнение (7.64), учитывая, что = хь] (У):
Подставляя в это уравнение значения х^ (У) из (7.118) и учитывая
равенства к\ = к2 + е, к\ = к2 - е, Т - Тх = Т2, непосредственными
вычислениями найдем
В этом примере все коэффициенты характеристического уравнения получены с
помощью непосредственных вычислений. Как и следует из общей теории
уравнения Хилла, свободный член уравнения (7.119) равен единице (см.
(7.78)). Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство | а | < 2 (см. с. 242). В нашем
случае условие устойчивости (простой, но не асимптотической) принимает
вид
xi - cos к2 (t Ух) -J- С2 sin к2 (t Ух), ,...
х2 = - к2Сг sin к2 (4 - Ух) + к2С2 cos к2 (i - Ух) ' ' '
cos кхТ х - Сх, -кх sin А-, - к2С2.
Х2Х = - к2 cos кхТх sin к2 (I - У,) - кх sin кх7\ cos к2 (I - Тх),
хх2 = -Щ- sin кхТг cos к2 (t - Ух) + cos кхТх sin k2(t - Tx), (7.118)
1 1
*11 (Т) - р *12 (У) _
*21 (У) *22 (У) - Р _ •
р2 + ар + 1 = О,
(7.119)
], (7.120) (7.121)
где
а = 2Г -т==
L
= sin кхТх sin к2Т2 - cos кхТх cos к2Т2 [г = elk2 = е/б.
вт&хУхбтйгУг
cos АгхУх cos к2Т2 <^1. (7*122)
lAl-p2
260
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Если все числа 6, е, Тг и Т2 заданы, то проверить это условие но
представляет труда. Не останавливаясь на более подробном анализе
неравенства (7.122), установим только условия возникновения
параметрического резонанса при ц = е/б<^: 1. Пренебрегай в (7.122) всеми
членами, содержащими р в степени выше первой (отметим, что число и входит
в kt и к.,), и учитывая, что параметрический резонанс для уравнения Хилла
возникает уже на границе области устойчивости (см. с. 241-242), получим
| cos (к1Т1 + к2Т2) | = 1.
Отсюда
к^ + к2Т2 = яга (га = 1,2,3,...). (7.123)
Учтем теперь значения kt и к2
ki = |/ к2-\- е = к |/4 + р, ^2 = 1/^къ-е = Л: |/" 1 - р.
При и = е/к2 = s/б достаточно малом будем иметь кх = к (1 + i/г (1). ' h
= к (1 -1/2 р).
Подставляя эти значения для кг и к2 в (7.123), найдем {Тг -[- Т2 -- Т) кТ
-f-1/2 (7*2 -¦ Т]) = ян,
или, с точностью до главных членов,
" = 2ТГ (га = 1, 2, 3,...), (7.124)
где со = 2п/Т - частота пульсации, а /с = |/6 -
частота собст-
венных колебаний системы при отсутствии параметрического возбуждения.
Из выражения (7.124) видно, что при достаточно малой глубине пульсации 8
параметрический резонанс наступает при бесчисленных значениях ее частоты
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed