Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 88

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 101 >> Следующая

регулирования к канонической форме
Прежде чем перейти к определению условий абсолютной устойчивости системы
(8.6), займемся преобразованием ее. В матричной форме уравнения (8.6)
имеют вид
ж~ Ах + &?,
4 = /(<т), (8.8)
а - с'х - гН.
Здесь А = || ah-j\\ - квадратная матрица, х, Ъ и с - матрицы-столбцы (с'
- матрица, транспонированная с с, т. е. матрица-строка), г, |, о и / (о)
имеют прежние значения.
В уравнениях (8.8) неизвестными функциями времени являются матрица-
столбец х и скалярная величина ?. Перейдем к новым переменным по
формулам:
у = Ах + 1Ь = х,
§ 8.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
267
Будем иметь
у = Ах + bl, а = с'ж - гс,.
Принимая во внимание уравнения (8.8) и равенства (8.9), получим
y = Ay + bf(a),
о - с'у - г/ (о). <8Л0>
Потребуем, чтобы определитель линейного преобразования (8.9) был отличен
от нуля (см. понятие о сложных матрицах в § 5.2):
dot И b IIФ О
I с - г I
или более подробно
Й11 . * * ат bi
ЙП1 • . . а 7 гп К
Cl . . . с п - г
(8.11)
В этом предположении дифференциальные уравнения возмущенного движения
(8.8) и (8.10) будут взаимно эквивалентны. Это означает, что из
абсолютной устойчивости относительно переменных у и а следует абсолютная
устойчивость относительно переменных х и ? и наоборот.
Заметим, что условие (8.11) не является жестким, так как элементы
определителя зависят от параметров системы, которые всегда можно выбрать
так, чтобы это условие выполнялось.
Условия устойчивости системы (8.10) можно искать в матричной форме,
пользуясь некоторыми матричными соотношениями (см. [51, 52]). Если
считать эти соотношения известными, то вывод условий абсолютной
устойчивости будет простым. Однако простота вывода и самих условий
устойчивости является кажущейся, так как доказательство матричных
соотношений, на которые опирается вывод, и их явное выражение через
параметры системы достаточно сложны. Поэтому остановимся на методе Лурье
[33], состоящем в переходе к каноническим переменным.
Сделаем линейное преобразование
и -- А у
268 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
с неособенной матрицей А. = ||а^||. Будем иметь у - А~ги, у = Л-1м.
После подстановки в уравнения (8.10) получим Л_1м = АЛ_1м + bf(a), а -
с'Л-1м - rf (о).
Умножим первое уравнение слева на матрицу Л. Тогда, учитывая равенства
AA~4t = Ей = и, найдем
й =¦ Ви + hf (о),
(8.12)
а =г. д и - г/ (о),
где
5 = ЛЛЛ'1, h = Ab, д = (Л-1)'с. (8.13)
Будем задавать не матрицу преобразования А, а матрицу В, считая, что она
представляет нормальную форму Жордана для матрицы А (см. § 5.3). Тогда
матрицы Л и Л-1 могут быть определены из уравнений (5.55) и (5.56):
В А = АЛ, Л-'В = А А-1, ЛЛ^1 = Е. (8.14)
Если матрица преобразования Л найдена, то обратную матрицу Л-1 проще
всего найти по формуле
А-1 - !1 ai'j I
(8.15)
где a'nj - элементы обратной матрицы Л-1, Ад - алгебраические дополнения
элементов ад матрицы Л, а А = det А (следует обратить внимание на
расстановку индексов).
В дальнейшем будем считать, что все корни Хк- (к = - 1, 2, . . ., п)
характеристического уравнения
det (А -ХЕ) = 0 (8.16)
простые и имеют отрицательные вещественные части
Re Х}; < 0,
причем в некоторых случаях будет допускаться один нулевой корень.
§ 8.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 269 В сделанных предположениях
матрица В имеет вид 4)
(8.17)
0 . . 0
в = 0 ^2 • . 0
0 0 . . хп
Запишем уравнения (8.12) в скалярной форме "а- = Хкик + hkf (а) (к = 1, .
. ., п),
Е gkWk - rf (а). (8.18)
Ь'=1
В этих уравнениях некоторые коэффициенты hk могут равняться нулю. Введем
новые переменные zk, положив
\hkzk, если НкфО,
Щ = \ г. П 8Л9)
( zk, если hk - 0.
Тогда уравнения (8.17) примут свой окончательный вид эти уравнения
называются каноническими уравнениями истемы регулирования)
Ч = h-Zk + St-/ (о) (k = 1, • • • , п),
а= S ekzk - г/(о), (8.20)
К=1
где множители 8к равны единице или нулю
(1, если hk Ф 0,
8к= п ; л (8-21)
(.0, если /гк. = и,
а коэффициенты ек определяются равенствами
если hk Ф 0, если hi- - 0.
[ёкК,
ёк,
(8.22)
Отметим, что вещественным корням Хк отвечают вещественные канонические
переменные zk и вещественные числа ек; комплексно-сопряженным корням Хк =
А*+1 отвечают комплексно-сопряженные канонические переменные zк = Z...+!
и комплексно-сопряженные числа ек =
= е
':+!•
х) См. (5.35) и (5.32). В случае простых корней характеристического
уравнения числа ег = е2 = . . .= еп = 1, поэтому
каждая
клетка Jk состоит из одного элемента Хк.
270 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Уравнения (8.20) совпадают по своей форме с уравнениями (8.18), но
отличие их состоит в том, что в уравнениях (8.20) коэффициенты 8к
удовлетворяют соотношениям (8.21).
В заключение этого параграфа отметим, что существуют различные методы
приведения уравнений систем автоматического регулирования к канонической
форме (8.20). Здесь изложен наиболее общий метод, основанный на матричных
уравнениях (8.14). Практическое применение этого метода будет разъяснено
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed