Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
со. Заметим, что выражение (7.124) для критических значений частоты
пульсации при параметрическом возбуждении по закону квазипрямоугольного
синуса не зависит от соотношения частей периодов Тг и Т2 и что оно в
точности совпадает с соответствующими значениями критической частоты при
параметрическом возбуждении по закону обычного синуса (косинуса).
Действительно, если уравнение Матье записать в следующей форме:
х + (к2 + е cos at)x = О,
где к - частота собственных колебаний системы при отсутствии
параметрического возбуждения, то при переходе к безразмерному времени по
формуле <вг = т мы получим каноническую форму (7.89) этого уравнения, в
котором б = к'1/м2. На с. 251 было показано, что при малом s критические
точки для б определяются равенством б = га2/4, или к2/со2 = га2/4, где га
= 1, 2, 3, . . . Отсюда получим со = 2к/п, т. е. формулу (7.124).
В заключение этого примера заметим, что условие устойчивости (7.122)
справедливо и для случая, когда одно из чисел б, б + е = = к*< и б - е =
А(r) или все они отрицательны. Для этого достаточно перейти от
тригонометрических функций мнимых аргументов к гиперболическим функциям
действительных величин.
ГЛАВА VIII
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 8.1. Введение
В большинстве случаев системы автоматического регулирования представляют
сложные устройства, состоящие из объекта регулирования и регуляторов.
Назначение последних состоит в том, чтобы непрерывно поддерживать в
объекте регулирования установившийся режим работы или режим, изменяющийся
по заданному закону. Все отклонения от заданного режима, возникающие в
системе регулирования, должны быть с течением времени сведены практически
к нулю. Иначе говоря, система регулирования должна быть асимптотически
устойчива.
Начиная с работ И. А. Вышнеградского, о которых рассказывалось во
введении и третьем примере § 4.5, при исследовании устойчивости систем
автоматического регулирования применяется метод линеаризации с дальнейшим
использованием различных критериев (Гурвица, Рауса, Найквиста, Михайлова
и др.). Обоснованием этого метода служат теоремы Ляпунова об устойчивости
движения по уравнениям первого приближения (см. § 4.3).
В 1944 г. появилась небольшая заметка А. И. Лурье и В. Н. Постникова
[34], в которой для исследования устойчивости движения конкретной системы
автоматического регулирования был применен прямой метод Ляпунова.
Устойчивость рассматривалась в целом, т. е. при любых начальных
возмущениях и любой нелинейности сервомотора, подчиненной некоторым
условиям (такая устойчивость получила название абсолютной устойчивости).
В дальнейшем А. И. Лурье в ряде работ развил идеи, заложенные в первой
публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего
весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему
алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия
абсолютной устойчивости. В монографии [33], опубликованной в 1951 г., А.
И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию
2G2 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
абсолютной устойчивости регулируемых систем до хорошо разработанного
алгоритма.
Результаты, полученные А. И. Лурье, послужили отправной точкой для
дальнейших исследований абсолютной устойчивости. В этой работе приняли
активное участие ученые различных стран. Не имея возможности упомянуть
всех авторов, отметим прежде всего работы советских ученых А. М. Летова
[31], Е. А. Барбашина [5, 6], М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [2], В.
А. Якубовича [50, 51, 52, 53], работы американских ученых Р. Э. Калмана
[55], Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца [29, 32], румынского ученого В. М. Попова
[43]. Последнему принадлежит1 введение частотных методов в исследование
абсолютной устойчивости, позволивших расширить класс рассматриваемых
систем.
Учитывая характер настоящего руководства, в этой главе мы кратко изложим
основные идеи и результаты А. И. Лурье.
§ 8.2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения систем
автоматического регулирования
Во многих случаях система автоматического регулирования состоит из
объекта регулирования, чувствительных элементов (измерителей),
суммирующего прибора, сервомотора и механизма обратной связи. Структурная
схема такой системы изображена на рис. 8.1. Под регулятором понимается
совокупность измерителей и суммирующего прибора; иногда в регулятор
включают и сервомотор с механизмом обратной связи.
Параметры, характеризующие состояние объекта регулирования при нарушении
установившегося режима работы, замеряются чувствительными элементами
(измерителями), показания которых вместе с сигналом ? механизма обратной
связи подаются на суммирующий прибор. Последний вырабатывает команду а,
управляющую серводвигателем, который в свою очередь устанавливает в
надлежащее положение регулирующий орган объекта регулирования и
воздействует одновременно на механизм обратной связи.
