Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
То обстоятельство, что устойчивость замкнутой системы
(9.10) определяется по годографу частотной характеристики разомкнутой
системы (9.1), является сильной стороной критерия Найквиста. Недостатки
этого критерия состоят в том, что он требует реального построения
годографа частотной характеристики системы (9.1), что в свою очередь
требует знания численных значений всех коэффициентов передаточной
функции. Таким образом, критерий Найквиста дает возможность проверить
устойчива или неустойчива рассматриваемая система при выбранных численных
значениях коэффициентов, но в общем случае с его помощью нельзя построить
область устойчивости в пространстве коэффициентов.
В следующих параграфах будут рассмотрены частотные методы, применимые не
только к линейным, но и к нелинейным звеньям замыкания и свободные от
этих недостатков.
§ 9.4. Частотные критерии абсолютной устойчивости
систем с непрерывной нелинейностью
Рассмотрим систему
, п
ах -
-fir = 2mJaa}X} + Ьаи (а = 1, ..., га),
м== -ф(ст), (9.12)
П
3=1
где ф (сг) - непрерывная функция, удовлетворяющая при О Ф 0 условию
0< J?i2L<fc< +оо, (9.13)
a aaj, Ъа, - достоянные коэффициенты,
§ 9.4. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 293
Условие (9.13) означает, что на плоскости (а, <р) график функции ф = ф
(а) должен находиться в секторе, ограниченном осью о и прямой ф = ко
(рис. 9.4), причем закон изменения функции ф = ф (сг) может быть любым, в
частности он может иметь вид, изображенный на рис. 8.2, а.
Как видно, отличие системы (9.12) от (9.10) заключается в том, что (9.12)
получается из системы (9.1) путем замыкания через ее нелинейное звено
и = - ф (сг).
Поэтому критерий Найквиста к системе (9.12) неприменим.
Вместо него для нелинейной системы (9.12) установлен следующий частотный
критерий абсолютной устойчивости. Обозначим через W (р) передаточную
функцию системы
(9.12) от "входа" (-ф) к "выводу" а.
В зависимости от расположения полюсов *) передаточной функции W (р)
различают некритический случай, когда все полюсы лежат в левой
полуплоскости, а также критические случаи, когда имеются полюсы на мнимой
оси.
Приведем без вывода основные теоремы, определяющие достаточные условия
абсолютной устойчивости систем рассматриваемого класса при условии, что
нелинейность непрерывна (доказательство можно найти в [2, 53]).
Теорема 1 (некритический случай). Пусть выполнены следующие условия:
1) нелинейная функция ф (а) удовлетворяет условию
(9.13);
2) все полюсы W (р) имеют отрицательные вещественные части',
1) То есть корней полинома, стоящего в знаменателе W (р).
294
ГЛ. IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
3) существует такое вещественное число г'), что при всех со 0 выполнено
частотное условие
+ Re [(1 + г toft) W (io>)] > 0. (9.14)
Тогда система (9.8) абсолютно устойчива.
Частотный критерий (9.14) допускает наглядную геометрическую
интерпретацию. Так как W (гсо) = и (со) + + iv (со), то условие (9.14)
равносильно неравенству
-\--\-и( со) - йог; (со) >0. (9.15)
гС
Построим видоизмененную частотную характеристику, изображающая точка
которой определяется координатами
и (со), (ov (со). Если ввести новую плоскость их = и, vt = ож и на этой
плоскости построить годограф видоизмененной частотной характеристики при
и ^ 0, то условие (9.14) означает, что должна существовать прямая 1/ft +
Hi - = 0, проходящая через точку (-1/ft, 0)
и лежащая левее этого видоизмененного годографа (рис. 9.5).
Частотный критерий (9.14) гарантирует абсолютную устойчивость системы
(9.12) в том смысле, что начало координат устойчиво в целом, какова бы ни
была непрерывная функция ф (сг), график которой заключен в сектор (9.13).
В частности, будет устойчива в целом любая линейная система, получающаяся
из (9.12) при ф (сг) = ho, 0 < ft < /с.
§ 9.4. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 295
Теорема 2 (критический случай одного нулевого полюса), Предположим, что
выполнены следующие требования:
1) нелинейная функция ф (а) удовлетворяет условию
(9.13);
2) передаточная функция W (р) имеет один нулевой полюс, а остальные ее
полюсы (если п 1) имеют отрицательные вещественные части;
3) р = lim pW (р) ]> 0 и существует такое веществен-
р-*0
ное число Ф, что при всех и О выполнено частотное условие (9.14).
Тогда система (9.12) абсолютно устойчива.
Теорема 3 (критический случай двух нулевых полюсов). Пусть выполнены
следующие условия:
1) функция ф (сг) удовлетворяет неравенству (9.13) при к = оо1) и
соотношению
±00
^ ф(сг)с2сг=оо; (9.16)
о
2) передаточная функция имеет два нулевых полюса, а остальные ее полюсы
(если п^> 2) имеют отрицательные вещественные части',
3) а = lim/pW(/>) > О,
р-"0
р = lim [p*W (р)] > О,
р-О "
я (со) = о Im И^йо) 0 при всех о>^>0,
lim я (и) < 0.
(О-¦оо
Тогда система (9.12) абсолютно устойчива.
Прежде чем перейти к примерам, заметим, что критерии абсолютной
устойчивости, установленные теоремами 1-3, носят аналитический характер и
для проверки их не нужно строить годограф передаточной функции W (ш) и не
