Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
К
С помощью формул (8.51), (8.50) и (8.49) это условие приводится к виду
г - р > 0, (8.52)
где
р = как1Т2/Т 0.
Заметим, что при отсутствии обратной связи (г = 0) условие (8.52) не
будет выполнено.
Вычислим по формулам (8.43), (8.51), (8.50) и (8.49) параметр 0. Получим
0
-~И-
- и, - -
Г V
где
v = Т11Т\.
),о
0,5
Область абсолютной устойчивости
0,5 1,0 2,0
Ряс. 8.6
5,0 v=^
' 2
Абсолютная устойчивость будет обеспечена при следующих условиях (в
рассматриваемом примере г = 1):
1) р < 1, р + 1/у > 4;
2) р<1 (/1 _ ц + 1)2 >
>4 - р - 1/v.
Первый случай отвечает условиям (8.36) и 0 > 0. Второй случай отвечает
условиям (8.36) и (8.45). Комбинируя эти условия, можно получить более
простые условия абсолютной устойчивости непрямого регулирования двигателя
с жесткой обратной связью:
1) Р<1, v < 1/2;
2) р < 1/v - l/4v2, v > 1/2. (8.53)
Область абсолютной устойчивости показана на рис. 8.6. Конечно, все выводы
справедливы при сделанных предположениях.
ГЛАВА IX
ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 9Л. Введение
Частотные методы исследования устойчивости линейных и нелинейных систем
весьма удобны для инженерных расчетов, поскольку частотная характеристика
инвариантна относительно линейного неособенного преобразования координат
и легко определяется как по уравнениям системы, так и экспериментально.
Кроме того, частотные методы позволяют расширить класс рассматриваемых
систем.
Впервые частотный критерий для исследования устойчивости линейных систем
предложил Найквист в 1932 г. В 1958 г. румынский ученый В. М. Попов [431
получил достаточные условия абсолютной устойчивости в частотной форме, т.
е. на языке требований, предъявляемых к частотной характеристике линейной
части системы.
В 1962 г. В. А. Якубович [51], а затем в 1963 г. американский математик
Р. Калман [55] опубликовали работы, из которых следует эквивалентность
методов А. И. Лурье и В. М. Попова.
В этой главе кратко излагаются основы частотного метода В. М. Попова для
исследования систем с непрерывными нелинейностями. Анализ систем с
разрывными нелинейностями, скользящим режимом и неединственным положением
равновесия ("отрезком покоя") можно найти, например, в работах [15, 156,
29, 30].
§ 9.2. Передаточные функции
и частотные характеристики
Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений
П
dt
(а= 1, ..., п),
(9.1)
П
О-- 2 CjXjj
§ 9.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
287
где aaj, Ъа, cj - постоянные коэффициенты, и - некоторая заданная функция
времени.
Будем называть функцию и "входом" системы, а функцию о "выходом" системы.
Заменив в системе (9.1) формально оператор dldt на р, получим соотношения
П
рха = aajXj + bau (а - 1, ... , п),
1
71
сг==21 cjxj-
3=1
Исключив из этих равенств переменные xv . . ., хп и выразив о через ц,
придем к формуле
o=W(p)k, (9.2)
где
И'М = Х5Г- (9-3)
Здесь Qm (р) и Qn (р) - полиномы относительно р степени т и п
соответственно. Очевидно, т <С.п и Qn (р) является характеристическим
многочленом однородной системы, получающейся из (9.1) при и = 0.
Рис. 9.1
Дробно-рациональная функция W (р) называется передаточной функцией
системы (9.1) от "входа" и к "выходу" о. Это название вытекает
непосредственно из равенства (9.2): передаточная функция W (р) передает
(преобразует) "вход" и в "выход" <7 (рис. 9.1, а).
Заметим, что для определения передаточной функции не надо предварительно
приводить систему к виду (9.1), разрешенному относительно производных.
Если система содержит производные выше первого порядка, то для вычисления
передаточной функции надо заменить d^ldt* на рн.
288 ГЛ. IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
Пример 1. Найдем передаточную функцию от "входа" и к "выходу" х в
уравнении ± + Зх = и. Заменяя ± на рх, получим рх + Зх = и.
Следовательно, передаточная функция имеет вид 11(р + 3).
Пример 2. Найдем передаточную функцию от "входа" - / к "выходу" а в
системе
Уф + ф = - kt,
I = /, (9.4),
а = схф + с2ф - г|,
где У, к, ci, с2, г - постоянные. Делая элементарные выкладки,,
последовательно найдем
(Тр2 + р)ф = -kl, pi = /, б = {cip + с2)ф - rg.
Отсюда
_J_ _ к к
I- р /, Ф = - у/)2_|_/)5 = - р (Ура -(- р)
к (<-лР + с2) г
Тр3 + Ра
kcip -\- кс2-\- Т гр2 тр
f=- рЦТр + 1)
Следовательно, искомая передаточная функция имеет вид
rгp,^v++<)p+t'^, . р.ц
Покажем, что передаточная функция не изменяется при линейном
преобразовании системы. Для этого запишем уравнения (9.1) в матричной
форме
- Ах + Ъи, о - с'х, (9.6)
где А - квадратная постоянная матрица, Ъ - постоянная матрица-столбец, с'
- постоянная матрица-строка, х (t) - матрица-столбец, и - скалярная
функция. Найдем передаточную функцию от "входа" (-и) к "выходу" а. Введя
оператор р = dldt и единичную матрицу Е, последовательно получим
рх=Ах + Ъи, х = - (А - pE)~xbu, о = - с' (А - рЕ)-1 Ъи.
Следовательно, передаточная функция для системы (9.6) будет
W (р) = с' (А - рЕУ'Ь. (9.7)
Сделав в системе (9.6) линейное преобразование х - - Ау, где Л -
