Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
на примере.
§ 8.4. Построение функции Ляпунова
Пусть имеется s пар комплексно-сопряженных корней
(?ц, А^), (А,3, Я,4), . . ., (A,2s-b ^2s)>
которым отвечают s пар комплексно-сопряженных координат
(ZI, z2)i (z3i Zi) 1 • • •> (z2s-l 1 z2s)
и n - 2s вещественных корней
^2S+ll ^2S+2l • • 4 ^П>
которым отвечают вещественные координаты
Z2S+l! 22S+2l • • •) Zn'
Для нахождения достаточных условий абсолютной устойчивости движения А. И.
Лурье предложил использовать функцию Ляпунова в следующей форме:
п П S n-2$ G
- 8 JC z*-iz* -- S № da.
k=i j=i 3 fc-=i Jr=i о
(8.23)
Здесь H2s+i) . ¦ an - вещественные, a alt a2, . . ., a2s-i, a2s -
попарно-сопряженные комплексные числа, которыми мы распорядимся в
дальнейшем соответствующим образом; положительное число е может быть
выбрано сколь угодно малым.
Докажем прежде всего, что функция V определенноотрицательна.
Действительно, из условия о/ (о) 0 сле-
дует, что последнее слагаемое представляет определенноотрицательную
функцию переменной а. Совокупность членов, содержащих множитель е,
определенно-отрица-
272 гл. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО регулировании
Внесем в это выражение для V" значения производных i и а из уравнений
(8.20). Получим
П П
Ят,2,.
^ = 2 Ц И -гтх-Яз ^ М -
Кг=1 j=l к 3
S
~ 8 S [^afe-i^c-i + &ik-if (O')] + Z-2k-i [k'lbZzK + 62xf (or)]} -
k-i
П-2S г n 1
- e z2s+It [A^s+fcZiB+K + 62s+kf (a)] - / (a) 2, ekzk - rf (a) R=1 L
K=1 J
или, группируя члены,
n n ^ гг-2s
V 2 ^ ^^ anz^-zj + r/2 (a) - 8 A^zLfR -
R=1 j=l fc ¦' R=1
8
- 8 S (^2R-i + А,д-) Zas-xZaic -
Jc=l
, 1 ¦ - " а б 1
~ Z2,t L88(r)*"1 + e** ~2aik x*+>7]+
S Г " a § -1
+ g z2k_x [сб., + c2,_x - 2a2K._x g J +
n-2S p n g
+ g zM+ft |^s52s+r + e2s+(c - 2a2s+It gdrM^'
Поясним, что при группировке членов, содержащих произведение функции /
(о) на двойную сумму и на параметры ек, суммирование по к разбито на три
суммы.
Займемся теперь преобразованием двойной суммы. Имеем
пп пп
2zEj = Aj Si h + xj а!:Ча^ + -X X A +A, ak4-ajZj=:
R-1 j=l K 3 R=1 j=l K J
n n n n n
= akzka,jZj = HrZr ^ ^ ^
R=a j=i fc=i j =i R=i
Присоединим к двойной сумме слагаемое г/2 (о) и
272 гл. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО регулирования
Внесем в это выражение для И значения производных з и а из уравнений
(8.20). Получим
П П
a,jz-
г=2?2т5г"Л^ + 8;/М]-
V--.1 А-1 К 3
k=i j=1
S
'8 2j (z'2k izaic-i + ^m-if (d)] + z2r_i [^2rZ2r + б2)с/ (or)]} -
c=i
n-2S
IV ilO [- Я -j
- 8 21 z2s+K [^as+ftZag+K + 62S+Il./ (or)] - / (a) 21 eRzR
- r/ (°)
K=1 L K=1 J
или, группируя члены,
n n n-2s
x ^ a^zyfljZj + r/2(a) - 8 I
j=i k j k=i
s
8 S (^2)C-1 +----------------------------------------------------
7t=l
- {J] z2R [eSaR-i + en - 2a2k ? ^ J +
fei J J
S Г " a 6 1
+ g za^ [eS.R + ^ - 2ал_гg J +
n-23 n
4" ^ | %2S+k (r)5as+R -f- ^2s+k ' 2n2s+!t 2 , Г ^ i ' i ( / (or).
¦fei as+K ¦>
Поясним, что при группировке членов, содержащих произведение функции /
(о) на двойную сумму и на параметры ек, суммирование по к разбито на три
суммы.
Займемся теперь преобразованием двойной суммы. Имеем
пп пп
2zS XXX ХХ+Т7 a*z*aizj + X X VFI~ аьЧ-а&-
R-1 j=l n 3 R=1 j=l K 3
n n n n n
= fltfcZfcaj-Zj- = HrZr ^ ^ ^
n n n n
I akzk)
R=1 j=I Jf=l j =l ' R=l
Присоединим к двойной сумме слагаемое г/2 (о) и
§ 8.4. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА 273
представим оба члена в следующей форме:
2 + гр (а) = ( 2 akzk)2 + гр (о) =
п п
= [S акЧ + VW(or)]2 - 2 |/г/(о) 2 akzk-
R=1 R=l
Отнесем выделенную здесь группу слагаемых с произведениями zkf (о) к
соответствующим слагаемым в производной Р. Тогда получим
akzk + /г/(а)]" -
г 8 Л-2 3 "ч
- е 2j ^2ft-) + 2j ^ae+k^as+fr -
L fc=i /r=i J
- z2k [e62R_x + en + 2a3(c (/r - g T ) ] +
R=l j-l " 7
8 Г ' _ " а.6 \ 1
+ gz2r_x [eS2tc + e2n-i + 2aa-i ( \fr ~ g + g J +
П-23
+ z^r j^eSas+R + Cas+R +
R=1
+ 2"M ( fr - ? j-Й^- )]}/("). (8.24,
j=l
Для того чтобы знак производной Р не зависел от функции / (а), выберем
постоянные числа аи а2, . . ап так, чтобы множители при z2r, z2r_x и
z2s+k обратились в нуль, т. е. подчиним эти числа п условиям;
"Ar-i + eik + 2агч (уг - g J~fT:) = 0 (* = 1. • • •.
*).
j=i 1
e62R + tfafr-i + 2a2R_x {у г - АТ^Д^рХг) = ^ (Л - 1,..., s),
i=i 2К-1 3
( - " аЬ \
E^as+R -f- ^2s+r + 2aas+R ^ ~\f г - ^-3 ^ ^ j =
j=i M+,t 2
= 0 (ft = l,.. .,n - 2s). (8.25)
13 Д. P. Меркин
274 гл. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
При таких ах, а2, . . ап производная V примет вид V = [ S akzK +
f7/(or)]2 -
s n-2S
- s [S (^a;.--l + ^air) z2k-iZw; + S ^.ist-frZas+fr] . (8.26)
/.¦=1 k=i
Первое слагаемое не отрицательно (по условию комплексные слагаемые входят
в сумму 2,акгк попарно с сопряженными, поэтому эта сумма представляет
вещественное число). Кроме того, по условию е 0, числа ^2Jr-1 + Х2к и
X,s+k отрицательны (Х2к = ?^к~1м Ке Хк < •< 0), а множители z^jZsk и
z%s+k - положительные вещественные числа (по условию z2k = z^-x, z3s+k
вещественны). Отсюда следует, что при всех а3, а2, . . ., ап,
удовлетворяющих уравнениям (8.25), производная V будет определенно-
