Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через ж17 . . ., хп параметры, характеризующие состояние
объекта регулирования, а также координаты и скорости чувствительных
элементов.
§ 8.2. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 263
Будем считать, что изменение этих величин при разомкнутой цепи
(отключенном серводвигателе) описывается линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами
П
Xft ^ (^* - * • • > ^)*
1=1
При замкнутой цепи на изменение величин хи . . хп будет влиять
регулирующий орган. Обозначая через %
Рис. 8.1
параметр, характеризующий положение последнего, и учитывая предположение
о линейности системы, получим дифференциальные уравнения объекта
регулирования и чувствительных элементов при включенном серводвигателе:
п
S ah-jxj + bbl (к = 1, ..., п). (8.1)
j=i
В конкретных системах некоторые из коэффициентов a^j и Ъ]с будут,
конечно, равны нулю, в частности, в уравнениях, соответствующих
чувствительным элементам, постоянные Ък = 0.
Будем считать, что механизм обратной связи осуществляется с помощью
жесткого выключателя. В этом случае выходная величина ? механизма
обратной связи будет пропорциональна его входной величине
С = kl.
(8.2)
264 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Суммирующий прибор, складывая показания чувствительных элементов, дает на
вход сервомотора величину
П
О ¦= s CjXj - rl, (8.3)
i=i
где Cj ш г - передаточные числа.
Передаточное число г называется коэффициентом обратной связи. В разумно
построенной системе регулирования коэффициент обратной связи положителен,
т. е.
В)
т
Л,
бъ б
б)
б1
ZJ бг 6
г)
Рис. 8.2
г > 0. При отсутствии механизма обратной связи г = 0; кроме того,
передаточные числа cj, соответствующие параметрам объекта регулирования,
также равны нулю.
Связь между входной величиной а серводвигателя и его выходной величиной в
случае непрямого регулирования выражается зависимостью
i = / (от), (8.4)
где функция/(о) называется характеристикой сервомотора.
Характеристика сервомотора может быть линейной, но значительно чаще она
носит нелинейный характер. На рис. 8.2 показаны некоторые типичные
примеры нелинейности функции / (о). Характеристики а и б непрерывны, а
другие две разрывны.
В дальнейшем будем предполагать, что характеристики / (а) удовлетворяют
следующим условиям.
1. Функция / (а) определена и непрерывна при всех значениях о;
2. / (0)_ = 0;
§ 8.2. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 265
3. а/ (а) Д> 0 при любых о Ф- 0; другими словами,
¦функция / (а) имеет тот же знак, что и о, и в нуль обраща-
ется только в начале координат;
4. Интегралы
оо 0
^ / (a) da, j f(o)do (8.0;
0 -оо
расходятся.
Характеристики типа б иг имеют зону нечувствительности (в промежутке (оц,
ст2) значения функции / (о) равны нулю при а Ф- 0). Анализ решений и
устойчивости систем, дифференциальные уравнения которых содержат функции
с зоной нечувствительности и разрывной нелинейностью, нельзя
рассматривать в рамках общей теории. Они требуют специального
исследования, выходящего за рамки настоящей книги.
Второе и третье условия не требуют пояснения. Заметим только, что
третьему условию не удовлетворяют характеристики с зоной
нечувствительности, так как произведение о/ (о) равно нулю во всем
промежутке (<*и н2), где а имеет значения, отличные от нуля.
Последнее, четвертое, условие практически всегда выполняется.
Действительно, геометрически это условие означает, что площадь под
характеристикой неограниченно возрастает при а -> оо.Так как участки
характеристики, параллельные оси о, для реальных сервомоторов
неограниченно продолжаются вправо и влево (эти участки практически
образуются за счет того, что орган, управляющий сервомотором, ложится на
упоры), то четвертое условие фактически реализуется всегда. Однако
мыслимы и другие сервомоторы, поэтому это условие следует предусмотреть
(значение его будет объяснено в следующем параграфе).
Функции / (о), удовлетворяющие перечисленным условиям, называются
допустимыми характеристиками.
Уравнения (8.1), (8.3) и (8.4) определяют возмущенное движение системы
непрямого регулирования с одним регулирующим органом и жесткой обратной
связью. Выпишем эти уравнения еще раз, собрав их вместе
П
it 2 Ч}Х] ~ь
Г1
4 = /(а), (8.6)
п
от = 2 CjXj - rL
3=1
266 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
При прямом регулировании связь между выходной | и входной а величинами
серводвигателя осуществляется не через производную, а непосредственно:
1=1 (о).
Поэтому уравнения возмущенного движения системы прямого регулирования
имеют вид
25 ak}Xj + bh.f(a),
j=1
П
(8.7)
G = 3 CjXj.
j=l
Сформулируем теперь постановку вопроса.
Задача Лурье. Независимо от начального состояния системы и конкретного
выбора допустимой характеристики / (о) сервомотора найти необходимые и
достаточные условия устойчивости системы (8.6) в целом. Иначе говоря,
требуется найти условия абсолютной устойчивости системы (8.6).
§ 8.3. Преобразование уравнений
возмущенного движения системы
