Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
изменяющиеся силы (см. пример 1), при периодически изменяющейся жесткости
упругих элементов системы, при качке судов [7], при вращении валов с
различными моментами инерции и т. п. Большое значение имеют рассмотренные
в этой главе методы при исследовании устойчивости периодических колебаний
нелинейных систем.
Мы ограничимся рассмотрением двух простейших примеров .
§ 7.7. СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ 255
Пример 1. Влияние вибрации точки подвеса на устойчивость равновесия
маятника. Пусть материальная точка М массой т укреплена на конце стержня,
который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Очевидно, что такой
маятник имеет два положения равновесия: нижнее устойчивое и верхнее
неустойчивое. Исследуем влияние колебаний точки подвеса О на характер
равновесия маятника.
Рассмотрим сначала влияние горизонтальных колебаний точки подвеса О на
устойчивость нижнего положения равновесия маятника (рис. 7.10).
Присоединим к силе тяжести маятника mg переносную силу инерции Фе = -тх,
где х = х (t) - закон движения точки О. Воспользуемся теоремой об
изменении момента количества движения относительно оси вращения маятника
(массой стержня пренебрегаем):
¦ mgl sin ф - mxl cos ф.
Будем считать, что точка подвеса маятника колеблется по гармоническому
закону х - a cos cot. Тогда для малых углов ф последнее уравнение примет
вид
ф -f - Ф =
I
¦ cos at.
Рис. 7.10
Это уравнение обычных вынужденных колебаний системы, находящейся под
действием возмущающей силы (aa2ll) cos at. Резонанс возможен только при
совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний,
равной ~\fg/l, т. е. при
w = \f ell.
Рассмотрим теперь влияние вертикальных колебаний точки подвеса на
устойчивость нижнего равновесного положения маятника (рис. 7.11, а).
Присоединим к силе тяжести маятника mg переносную силу инерции Фе ----- -
ту, где у = a cos at - закон движения точки О по вертикали, и снова
воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения
относительно оси вращения маятника
d
SF
- т (g - у) I sin ф,
или, считая угол ф малым Ф
( g со2 \
ф + (- + а -у- cos at) ф =_0.
Для того чтобы привести пто уравнение Матье к канонической форме (7.89),
положим
at = т.
256 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
После очевидных преобразований получим
-^+te+xcos (7-ш>
Сравнивая это с уравнением (7.89), находим
6 = g/(7co2), 8 = all. (7.108)
Параметрический резонанс при малых 8 наступает вблизи
значений б = А2/4, где к - целое положительное число. Поэтому
тдч
a) d)
Рис. 7.11
при частоте вертикальных колебаний точки подвеса, близких к значениям
(О = Щп \f g\l (п = J, 2, 3,..
устойчивое нижнее положение маятника сделается неустойчивым. Отметим, что
обычный резонанс будет только при частоте со = = ]f S/l, в то время как
параметрический резонанс наступает вблизи частот
2 1гш, 2/з Ifjfi, VtVsiif-
Проведенный анализ показывает, что устойчивость нижнего положения
маятника может быть разрушена вертикальными колебаниями точки подвеса.
Рассмотрим теперь, нельзя ли с помощью тех же колебаний стабилизировать
верхнее неустойчивое положение маятника. Для получения дифференциального
уравнения малых колебаний маят-' ника около верхнего положения равновесия
достаточно в уравнении (7.107) заменить g на -g:
§ 7.7. СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ 257
Теперь
6 = -g/(to2), Е = all.
Будем считать, что амплитуда а колебаний точки подвеса мала по сравнению
с длиной маятника I. Тогда е<^;1, и можно использовать диаграмму,
изображенную на рис. 7.9.'Из этой диаграммы видно, что для стабилизации
верхнего положения маятника при отрицательном б точка М с координатами б,
е должна находиться выше параболы б = -е2/2 и ниже прямой б = 1/4 - е/2,
т. е. должны выполняться неравенства
1/2 - 26 > е > У^2б.
Внесем в это двойное неравенство значения 6 п е:
4-+>&>т->Ум?.
или, производя простейшие преобразования,
~2~ + 2 ~ > яш >"\f2gl.
При а<^.1 левая часть неравенства выполняется всегда и остается только
правая часть, которая означает, что верхнее неустойчивое положение
маятника можно стабилизировать высокочастотными колебаниями точки подвеса
при условии, что ее максимальная скорость асо превышает скорость
свободного падения маятника с высоты, равной его длине (У2gl). Впервые
это свойство было установлено П. JI. Капицей [23].
Пример 2. Исследование устойчивости нулевого решения уравнения Хилла при
параметрическом возбуждении по закону к в а-зипрямоугольного синуса.
Рассмотрим простейшую
?(*\
-I
т т
, 7, JL
Рис. 7.12
систему, уравнение возмущенного движения которой описывается уравнением
Хилла (7.76)
х + [б + еф (t)\x = 0 (7.109)
с функцией возбуждения ф (t), изменяющейся по закону квази-прямоугольного
синуса (рис. 7.12). Период Т функции возбужде-
258 гл. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем
ния г|: (t) складывается из времени Тг, когда функция ф (t) равна + 1, и
времени Т2, когда ф (г) = -1. При 7\ = Т2 имеем обычный прямоугольный
