Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
линейной подстановки к системе уравнений с постоянными коэффициентами.
Подробное исследование систем, которые могут быть приведены к линейным
уравнениям с постоянными коэффициентами, содержится в работе Н. П. Еру-
гина [19].
§ 7.6. Устойчивость решений уравнений
Хилла и Матье
Возмущенное движение многих систем (см. § 7.7) описывается одним
дифференциальным уравнением второго порядка
-§-+ р (0 * = °. О7-73)
где р (t) - периодическая функция периода Т. Разложим функцию р (?) в ряд
Фурье
Р (0 = ~Y~ + (-^ircos ^у-1 + Вк sin f) . (7.74)
"=ч
240 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Теперь уравнение (7.73) принимает вид
00
00
(7.75)
Уравнение, записанное в такой форме, впервые рассматривалось Г. В. Хиллом
(G. W. Hill) при исследовании движения Луны.
Для наших целей уравнение Хилла удобно записать в следующей форме:
где б и е - некоторые параметры, а ф (t) - периодическая функция периода
Т. Функцию ф (t) называют функцией возбуждения, а ее частоту со = 2я/Т -
частотой возбуждения.
Очевидно, что выбором параметров б и е невозмущенное движение х - 0, х =
0 можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = 0 и 8 >
0, движение устойчиво, а при е = 0 и б < 0 это движение неустойчиво.
Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить
следующим образом: в плоскости параметров б и е найти области
устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения х = 0, х = 0.
Установим прежде всего некоторые общие свойства решений уравнения Хилла.
Положим
Тогда одно уравнение (7.76) будет эквивалентно двум уравнениям первого
порядка
Напишем матрицу коэффициентов этой системы (см. (7.47)):
Следовательно, рп = р22 = 0- Пользуясь формулой (7.72), найдем а2 = 1.
Согласно равенству (7.71), характеристическое уравнение запишется в виде
Коэффициент а нам неизвестен и для его определения необходимо знать
фундаментальную матрицу решений.
-jjb + [5 + еф (()] х - О,
(7.76)
хЛ = х2, х2 = - [б + еф хх. (7.77)
P{t)
О
1
_[й + еф(0] 0 ||-
р2 + ар + 1 = 0.
(7.78)
5 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ
241
Так как найти эту матрицу в замкнутой форме мы не можем, то для
определения области устойчивости в плоскости параметров б и е
воспользуемся следующими соображениями.
Согласно формуле Виета произведение корней рх и р2 уравнения (7.78) равно
единице
Решим уравнение (7.78), считая коэффициент а известным
Рассмотрим возможные случаи.
1. | а | Д> 2. Оба корня уравнения (7.78) будут вещественными и
различными. Так как их произведение равно единице, то один из корней
будет по модулю меньше единицы, а второй больше единицы. Из этого
следует, что при | а | 2 движение будет непериодическим и неустойчи-
вым.
где i = Y-1- Корни получились комплексные. Найдем модуль этих корней:
Модули корней оказались равными единице, а сами корни различны. Поэтому
при | а | < 2 движение будет устойчивым.
3. а = -2. В этом случае рх = р2 = +1. Как было показано в конце § 7.5,
одному из этих корней будет отвечать периодическое решение периода Т.
Можно показать (мы не будем останавливаться на этом), что второму корню
отвечает возрастающее решение (корни кратные не только относительно
характеристического уравнения, но и относительно элементарных делителей).
Движение будет неустойчивым, но существенно, что имеется периодическое
решение периода Т.
4. а = +2. При этом условии рх = р2 = -1. Одному из этих корней будет
отвечать периодическое решение периода 2Т (движение, как и в случае 3,
неустойчиво).
Pi-Рг = К
2. | а | < 2. Тогда
Pi,1! I
9 Д. Р. Меркни
242 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Таким образом, движение будет устойчиво только при | а | < 2. Коэффициент
а уравнения (7.78) при данном периоде Т возбуждающей функции ф (t)
зависит, в конечном счете, от параметров б и е. Предположим, что
коэффициент а = а (б, е) найден. Тогда границей области устойчивости на
плоскости б, е будут служить уравнения
Из случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть
для значений б и е, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют
периодические решения периода Т и 2Т. Эти выводы дают возможность
определить границы области устойчивости из условия существования
периодических решений уравнения Хилла.
Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим
аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами
(7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме:
В этом решении Сх и С2 - произвольные постоянные интегрирования, ф! (t) и
ф2 (t) - некоторые периодические функции, период которых равен периоду Т
возбуждающей функции ф (t), а аг и а2 - характеристические показатели,
определяемые равенством (7.68):
где pi и р2 - корни уравнения (7.78).
Рассмотрим сначала область неустойчивости, в которой | а | 2. Как было
установлено, при этом условии
корни р! и р2 характеристического уравнения (7.78) вещественны и
различны. Предположим, что оба корня положительны (случай, когда рх и р2
