Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(1 + е) sup D\ < (1 - е) inf D{,
(1 + е) sup Z>3 С (1 - e) inf D\,
где число
V
2-inf УЩ
за счет уменьшения параметра v можно сделать сколь угодно малым.
Согласно (7.38), (7.32) и (7.34), будем иметь
supD\ = YSuP P - J^inf E = YВ - Yai(a - ai)> sup Dl = YsuP E - У inf P =
Yai (^ - ai) - Yb, inf Dl = Y iuf P -f У inf 2? = Yb + У ai (a - Ui).
Теперь условия (7.40) принимают вид (1 + е)(/В - У й!(а - ai)) <(1 -
е)(У& + Уai(a - ai)), (1 +e)(Yai(A - a1) - Yb)<(l- е)(Уб + Y аЛа - ai)Y
или
У В - У Ъ < 2 Y"1 ((r) - "О - $ъ У ai (А - ai) - У qi (а - а{) <2 У& - б2,
230 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем
где положительные числа
81 = е (|/Ь + У"?), 82= г {Уa i(a - аг) + У сц(А - а{))
можно сделать за счет уменьшения параметра е сколь угодно малыми.
Так как все члены, входящие в неравенства (7.41),- постоянные числа, а
параметры и 82 можно выбрать сколь угодно малыми, то последние можно
отбросить и заменить неравенства (7.41) на следующие х):
У В - y&<2l/ai(a - ai),
2 Y~b>Y ai{A - ai) -У ai (a - ai).j
Таким образом, если границы а, А, Ъ, В функций а (t, х, х) и Р (t, #, ж)
удовлетворяют условиям (7.42), то невозмущенное движение х = 0, х = 0
будет асимптотически устойчиво. Число аг в промежутке (ц, а), где ц сколь
угодно мало, можно выбрать произвольно. Пользуясь этим обстоятельством,
условия (7.42) можно усиливать в желаемом направлении. Рассмотрим три
частных случая.
1. Жесткость системы постоянна (Р = const). В этом случае В = b и оба
неравенства (7.42) будут выполнены, если верхний предел функции a (t, х,
х) конечен. Действительно, первое неравенство (7.42) при В - Ъ
выполняется для всех а 0. Если взять число ах достаточно малым, то второе
неравенство будет также удовлетворено при любом Ъ 0 и любом конечном А =
= sup а (t, х, ?)¦ Таким образом, при постоянной жесткости системы (Р =
const) невозмущенное движение х = 0 и х = 0 асимптотически устойчиво при
любом переменном, но ограниченном коэффициенте демпфирования a (t, х, ±).
2. Коэффициент демпфирования постоянен (a = const). В этом случае А = а и
второе условие (7.42) выполняется автоматически. В первом условии положим
ах = а/2 (при ах = а/2 выражение аг (а - аД достигает максимума). Тогда
первое условие (7.42) приводится к виду
a >/5" - УТ. (7.43)
1) Если два числа а и Ь связаны неравенством а <_Ъ, то между ними всегда
можно вставить число a + 6 такое, что а + б •< Ь или а <С Ь - б, где б >
0.
§ 7.5. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 231
Таким образом, невозмущенное движение х = 0, % = ¦== 0 будет
асимптотически устойчиво при любой переменной жесткости р (t, х, х), если
только постоянный коэффициент демпфирования а = а удовлетворяет условию
(7.43).
3. Если считать В и b заданными, то, пользуясь свободой выбора числа
а1? можно установить нижнюю границу а для а (t, х, ?) и соответствующую
верхнюю границу А. Для этого снова полагаем а1 = а/2. Тогда из неравенств
(7.42) найдем
а>}Гв-УГ, A<Jb+M±±?.. (7.44)
Если границы а, А, Ъ, В функций а (t, х, х) и р (t, х, ±) удовлетворяют
неравенствам (7.42) для всех х, ±, t t0, то будут выполнены условия
теоремы Барбашина-Красовского х). В этом случае невозмущенное движение х
= О и i = 0 будет асимптотически устойчиво в целом, т. е. при любых
начальных возмущениях х0 и ?0 2).
§ 7.5. Устойчивость линейных систем
с периодическими коэффициентами
Исследование устойчивости движения многих систем, встречающихся в
различных технических задачах, часто сводится к анализу линейных
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В матричной
форме эти уравнения могут быть записаны так (см. § 5.2, формула (5.19а)):
х = Р (t)x. (7.45)
В этом уравнении х - матрица-столбец или вектор
X1
X -
(7.46)
г) Теорема Барбашина - Красовского сформулирована в § 2.3 для автономных
систем. При функции V(x), не зависящей явно от времзни t и
удовлетворяющей условию (2.16), эта теорема остается справедливой и в том
случае, когда производная Р, завися явно от времени, является
определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова.
а) Для случая, когда функции а и (5 зависят только от времени t, условия
(7.44) были получены другим методом В. М. Старжин-ским [47]. Приведенный
здесь вывод опубликован в работе [39].
232 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
а Р (?) - квадратная матрица
Pit (0 • • • рт (О
P(t)
Рщ W • • • Рпп W
(/.47)
Будем считать, что все элементы pkj (?) матрицы Р (?), а следовательно, и
сама матрица Р являются периодическими функциями времени ? одного и того
же периода Т, так что для любого момента времени ? справедливо равенство
Р (? + Т) = Р (?). (7.48)
Для получения критериев устойчивости таких систем кратко остановимся на
некоторых общих вопросах теории линейных дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами, принадлежащей Флоке(Иоцие1;).
Совокупность п линейно независимых решений уравнения (7.45)
(7.49)
называется фундаментальной системой решений этого уравнения, а матрица
