Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 75

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 101 >> Следующая

поверхности Земли корабля, на котором установлен прибор.
Восточная составляющая VF скорости корабля относительно Земли при
плавании в но очень высоких широтах меньше переносной скорости RU cos ф,
где U - угловая скорость вращения
7.3. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
223
Земли, а ср - шпрота места плавания. Поэтому | VE | < RU cos ф.
(7.17)
Уравнения возмущенного движения системы в упрощающих, но вполне
оправданных предположениях имеют вид (вывод можно найти в упомянутой
работе А. 10.
Ишлинского)
А.
dt
dy
dt
if gR dp dt
¦ vp
(Op
Y gR
27? sin a ml YgR
27? sin б ml YgR
a - coy -= 0,
6-0,
6 = 0, (7.18)
Y gR
a - vy = 0.
d 27? sin 3-6 dt ml gR
В этих уравнениях a, p, у,
6 - координаты системы, определяющие ее положение в возмущенном движении,
v (t) - абсолютная скорость точки О, причем
Рис. 7.4
v*=(RU созФ+ VE)*+ V%,
(7.19)
где VN - северная составляющая скорости точки О относительно . Земли, со
(t) - вертикальная составляющая угловой скорости трехгранника Дарбу,
относительно которого определяется положение гиросферы, a (t) - значение
угла е в установившемся движении, у = Yg!R - частота, соответствующая
периоду Шулера, g - ускорение силы тяжести. Отметим, что v (t), w (г) и а
(г) - заданные функции времени, причем по своему физическому смыслу a (t)
5s > 0О = min a > 0.
Умпожим первое уравнение (7.18) на va!YgR, второе на р, третье на у и
четвертое на 27? sin a-6/ml f gR и сложим почленно все уравнения. Тогда
после очевидных упрощений получим
d_
dt
dt + V ~ЙГ +
dy 27? sin з-6 d 27? sin 3-6
Y gR dt Y
или, интегрируя,
V =^"2 + Р3+72
dt
ml YS'R dt ml YgR
- = 0
47?2 sin2 a
62 = const.
(7.20)
mHHR
Из соотношений (7.17) и (7.19) следует
1,2 (t) > (RU cos ф - max | VE [ )2 > 0.
Кроме того, из условия 0 (?) > о0 > 0 вытекает, что sin2 а (?) > О sin2
о0 > 0. Эти неравенства означают, что выполнен обобщенный критерий
Сильвестра (7.5) и, следовательно, функция V является определенно-
положительной в смысле Ляпунова. Полная
224 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем
производная V функции V по времени на основании интеграла (7.20) равна
нулю. Согласно первой теореме Ляпунова § 7.2, возмущенное движение
гпрогоризонткомпаса устойчиво относительно а, р, у и б.
Пример 2 (математический). Пусть уравнения возмущенного движения имеют
вид
*1 = bi(l)zi + g12 (t)*i + • • • + gu(t)*s,
............................................. (7.21)
= hi (t)x 1 + gs2 (t)x2 + . . . + bs (t)xs, где коэффициенты g^j (t)
удовлетворяют условию косой симметрии Skj (t) = gjk (t). (7.22)
Составим определенно-положительную функцию
Вычислим полную производную от этой функции по времени
Р = + x2t2 + . . . + x^s
и внесем сюда значения производных i}, из уравнений (7.21). Тогда
учитывая равенства (7.22), получим
V = h (t)x\ + b2 {t)x\ + . . . + bs (t)x\.
Если при t J-t Ц все коэффициенты bf; (t) неположительны h (t) <0
(*=1,2,..., s),
то производная С будет отрицательной функцией и, следовательно,
невозмущенное движение = 0 будет устойчиво.
Если все fejt (г) при t ta удовлетворяют условиям
Ък (<) < < 0,
где б- постоянные отрицательные числа, то производная С будет
определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова и, следовательно,
невозмущенное движение xj; = 0 будет асимптотически устойчиво.
Наконец, если при t ^ t0 коэффициенты bj; (t) удовлетворяют условиям
h (t) > б* > 0,
где б* - постоянные положительные числа, то невозмущенное движение х% = 0
неустойчиво.
§ 7.4. Достаточные условия асимптотической устойчивости системы,
жесткость и демпфирование которой нелинейны и зависят явно от времени
Возмущенное движение различных систем очень часто описывается одним
дифференциальным уравнением второго порядка
х + a (t, х, ±)х + Р (7, х, х)х = 0, (7.23)
§ 7.4. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 225
где положительные вещественные функции аир вещественных переменных t, х,
? определены в области
t > ta, х2 + х2 < ц (7-24)
(?0, ц - некоторые положительные постоянные).
Функцию а (?, х, х) можно трактовать как нелинейный, зависящий явно от
времени обобщенный коэффициент демпфирования, а функцию Р (?, х, х) - как
нелинейную, зависящую явно от времени обобщенную жесткость системы.
При любых, но постоянных и положительных коэффициентах а и р
невозмущенное движение х = 0, х = О асимптотически устойчиво. Если же эти
коэффициенты, оставаясь положительными, изменяются, то существуют режимы
их изменения, при которых движение становится неустойчивым. В тех
случаях, когда закон изменения коэффициентов аир известен, можно
применить тот или иной метод и исследовать устойчивость движения. Однако
в приложениях встречаются случаи, когда характер функций а и р не
определен и известны только границы их изменения в области (7.24)
а ^ а (t, х, х) А, 5 ^ р (?, х, х) < В, (7.25)
где а, А, Ъ, В - заданные положительные числа (случай
а = 0 или 5 = 0 считаем исключенным).
Поэтому представляет интерес определить условия для а, А, Ь, В, при
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed