Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 74

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 101 >> Следующая

неравенству V (х, t) 0, называется областью V 0,
а поверхность V (х, t) = 0 - границей последней. Для функции V (х, t),
зависящей явно от i, граница области F)>0 и сама область изменяются с
течением времени t. Может оказаться, что область V (х, t) 0, изменяясь с
течением времени, перестанет существовать.
Функция U (х, t) называется определенно-положительной в области V 0, если
для произвольного положительного числа е, как бы мало оно ни было
выбрано, найдется такое положительное число I, что при всех хк,
удовлетворяющих условию V > е, и для всякого t ^ t0 имеет место
неравенство U (х, t) > I.
Теорема Четаева о неустойчивости движения. Если дифференциальные
уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V,
ограниченную в области V 0, существующей в сколь угодно малой окрестности
нуля переменных хк при всех t ^ t0, производная которой V в силу этих
уравнений была бы определенно-положительной функцией в области V 0, то
невозмущенное движение неустойчиво.
Докажем для примера теорему Ляпунова об устойчивости движения
(доказательство других теорем можно найти, например, в [35, 49, 37]).
Пусть V - определенно-положительная функция, а Р<0. По определению
знакоопределенной функции, найдется такая не зависящая от t определенно-
положительная функция W, что при достаточно большом t0 и достаточно малом
р в области (7.1) будут иметь место неравенства
Г < 0, V {х, t) > W (х). (7.11)
Выберем произвольно малое положительное число е (конечно, е р). На сфере
е пространства xh. (рис. 7.3)
24 = е (7.12)
К
значения функции W (х) отличны от нуля (так как функция W определенно-
положительная и обращается в нуль
§ 7.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА
221
только в начале координат О). Поэтому точная нижняя граница I функции W
на сфере е положительна и не может равняться нулю. Согласно определению
точной нижней границы на поверхности сферы е будет иметь место
неравенство
We (х) > I.
Пользуясь теперь вторым условием (7.11), найдем, что в любой точке сферы
е функция V (х, ?) не меньше I:
F8 (х, t) > I. (7.13)
Рассмотрим функцию V (х, t) при фиксированном значении времени t=t0, т.
е. функцию V (х, t0).
Эта функция не зависит от f и при х = 0 она обращается в нуль. В силу
непрерывности этой функции по числу I найдется такое число б О, что для
всех точек, находящихся внутри или на поверхности сферы б,
2 х\ = б,
значения функции V (х, t0) будут удовлетворять неравенству
V (х, t0) < I. (7.14)
Покажем, что изображающая точка М, начав движение из сферы б, никогда не
дойдет до сферы е. Действительно, так как начальная точка М0 берется из
сферы бв то значение функции V (х0, ?0) в этой точке должно удовлетворять
неравенству (7.14):
У0 = V (х0, t0) < I. (7.15)
Воспользуемся очевидным равенством
t
V - Vo = f V dt К
или, принимая во внимание соотношения (7.11) и (7.15),
V < У0 < I- (7.16)
Это неравенство выполняется в течение всего времени движения.
Следовательно, изображающая точка М, начав движение из положения М0,
находящегося в сфере б,
?
Рис. 7.3
222 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
никогда не дойдет до сферы е (так как на сфере е, согласно неравенству
(7.13), функция Ve(x,t)^ I). Теорема доказана.
Из приведенного доказательства, принадлежащего А. М. Ляпунову, виден
метод, с помощью которого по выбранному е можно найти число б.
Действительно, зная е, нужно найти на сфере е точную нижнюю границу I
функции W (х) (если функция V не зависит от времени t явно, то точную
нижнюю границу функции V (./;)). Число б найдется теперь из неравенства
(7.14) (подробнее об этом см. статью Н. Г. Четаева, перепечатанную в
книге [49]).
Закончим изложение общих теорем прямого метода Ляпунова следующим
замечанием. Во всех теоремах этого метода можно определить характер
устойчивости движения только после того, как найдена функция Ляпунова,
удовлетворяющая определенным условиям. Естественно возникает вопрос об
обратимости этого метода. Иначе говоря, можно ли утверждать, что для
всякого устойчивого (неустойчивого) движения имеется соответствующая
функция Ляпунова. Исследованием этой проблемы занимались многие ученые.
Подробное изложение, основные результаты и историю вопроса можно найти в
книге
II. Н. Красовского [27].
§ 7.3. Примеры построения функции Ляпунова
для неавтономных систем
Пример 1. Устойчивость движения гирогоризонт к о м и а с а.
Чувствительный элемент гирогоризонт-компаса состоит из двух идентичных
гироскопов 1 я 2, установленных в сфере и соединенных между собой (рис.
7.4). А. Ю. Ишлин-ский в своей работе [22] показал, что если на гироскопы
подавать управляющий момент
Ш
N==-7Л7Г costsinE.
где s - угол отклонения осей гироскопов от оси S - N гиросферы, т - ее
масса, В - кинетический момент гироскопа, I - расстояние от точки подвеса
О гиросферы до ее центра тяжести, R - радиус Земли, принимаемой за шар,
то в установившемся движении чувствительный элемент будет показывать
плоскость горизонта и плоскость меридиана при любом движении по
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed