Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
отрицательны, не вносит ничего принципиально нового). Обозначим через рх
= = р больший корень. Тогда, учитывая, что произведение корней равно
единице, будем иметь
а (б, е) = ±2.
(7.79)
х (t) = Ciea'1 ф1 (t) + Сае"ггф2 (t).
(7.80)
Pi>l, ра=-^-<1.
Отсюда
1 111
а = ai = In Pi > 0, cti = - In pi = - In - = - a 0.
§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ
243
Общее решение (7.80) можно записать теперь в следующей форме:
х (t) = С1еа1ц>1 (t) + Сае-"* фа (t). (7.81)
Так как решение х (t) является вещественной функцией, то произвольные
постоянные Сх и С2, а также периодические функции фх (t) и ф2 (t) должны
быть вещественными величинами. Второе слагаемое в равенстве (7.81) быстро
затухает (а 0) и практически можно ограничиться первым членом
х (t) ^ (t). (7.82)
ыз этого решения видно, что максимальные значения (амплитуды) функции х
(t) возрастают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой
равен еаТ = = р 1. Примерный вид графика решения (7.82) показан
на рис. 7.6 (этот график зависит от вида периодической функции фх (t),
которая, как правило, нам неизвестна).
Рассмотрим теперь аналитический вид решения уравнения Хилла (7.76),
отвечающего значениям параметров е и б из области устойчивости. Как было
установлено, в этой области оба корня рх и р2 уравнения (7.78) -
комплексно-сопряженные числа, причем | pi | = I рг I = 1-На основании
определения логарифма комплексного числа будем иметь (рх = р)
"1,2 = - (In | р | ± i arg р)
или, учитывая, что In | р | = In 1 = 0,
ax = -^ri, а-г =--------------------(7.83)
9*
244
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
где
к = | arg р |. (7.84)
Гак как аг и а2 - комплексно-сопряженные числа, а решение х (t) является
вещественной функцией, то постоянные интегрирования С, и С2, а также
периодические функции фх (t) и ф2 (t) должны быть комплексно-сопряженными
величинами. Представим их в показательной форме
Ci=-^-Ae&, С2 = ^-Ле~$\
Ф1 (0 = 7 (0 ф3 = у (t) (7.85)
Внося выражения для аCj и ф; в равенство (7.80), найдем
Пользуясь известной формулой
(егг + е zi) = cos z,
получим
или
х (it) = Ay (t) cos 1 -f v(t) + pj (7.86)
x (t)=--n(t) cos ^rt + p) + r](?)sin {-^rt + p^ , (7.87)
где функции p (t) и ц (t) определены равенствами
p (i) = Ay (t) cos v (t), Ц (t) = - Ay (t) sin v (t). (7.88)
В общем решении (7.86) или (7.87), отвечающем области устойчивости,
постоянные вещественные числа А и Р определяются из начальных условий
движения, а у (t) и v (t) или р (t) и ц (t) - вещественные периодические
функции, период Г которых равен периоду возбуждающей функции ф (t). Как
правило, функции у (t) и v (t) (тем самым и функции р (t) иц (7)), а
также число к = | arg р | определить в замкнутой форме мы не можем, так
что равенства (7.86) и (7.87) определяют только форму решения уравнения
Хилла, а не само решение. Однако из этих равенств мы можем составить
общее представление о характере устойчивых решений уравнения Хилла.
Действительно, из равенства (7.87) видно, что общее решенш
§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА И МАТЬЕ
245
представляет комбинацию периодических функций с периодами Т1~ Т и Та =
Т • Если периоды Тг и Т2
несоизмеримы, то устойчивое решение уравнения Хилла не является
периодической функцией времени. Если же отношение
Г,.____
Т2 2л
представляет рациональное число, то устойчивое решение уравнения Хилла
является периодической функцией.
Из равенства (7.86) можно составить и общее представление о графике
устойчивого решения. Для случая, когда Тj Т2 {к 2л), примерный график
решения (7.86)
Рис. 7.7
изображен на рис. 7.7 (он напоминает график колебаний при биении).
Заметим, что колебания системы, вызванные возбуждающей функцией,
называются параметрическими колебаниями.
Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном,
но имеющем большое значение случае, когда разложение (7.74) функции р (t)
в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой
частоты, т. е.
Р(*)=--^Г + A1cos-^-t + BlSin~t.
Положим
А1 - A cos у, Вг = A sin у,
где А и у - некоторые постоянные. В этих обозначениях будем иметь
Лп . . /2л
246 гл. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Внеся р (t) в уравнение (7.73), получим
+ [-y- + i4coe(-r-f-v)]3: = o-
Перейдем теперь к безразмерному времени т по формуле
2л .
- t- у = х.
Отсюда
dt = dx 2я
и последнее уравнение примет свой окончательный вид
у-/ 2 у
+ Ф + г cos т) х - 0, (7.89)
где
с ?'2 А" Тг . п оп>
4д2 Т~' г~~^п?Аш (7.90)
Уравнение (7.89) называется уравнением Матье; оно является, конечно,
частным случаем уравнения Хилла (7.76).
Возбуждающая функция равна cos т, а ее период равен 2л. В соответствии с
примечанием к (7.79) будем искать те значения б и е, при которых
существуют периодические решения периодов 2л и 4л. Из самой формы
уравнения (7.89) видно, что если функция х = х (т) есть решение уравнения
(7.89), то функции х = х (-т) и х = = -х (т) будут также решениями этого
уравнения. Из этого следует, что среди периодических решений уравнения
