Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Матье имеются четные и нечетные решения. Четные периодические решения
периода 2л будем искать в форме
ОО
х- -у- + ^ ак cos кх, (7-91)
Jc=l
а нечетные периодические решения того же периода - в форме
ОО
2 sin А:т. (7.92)
к=1
Периодические решения периода 4л представим аналогии ными рядами:
ОО оо
х = ~- У"1 сц cos , х- Уд sin -у~. (7.93)
1г=1 К=1
§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ 247
Остановимся более подробно на решении (7.91). Продифференцировав обе
части уравнения (7.91) два раза по времени т, найдем
оо
d2x
¦X
к2ак cos кх.
-у ао + (б - к2) % cos кх +
dx2 к
=1
Внеся это выражение и выражение (7.91) для х в уравнение (7.89), получим
СО оо
- ^ к2аК cos кх + (б + е cos т) ^-у- + ^ ак cos kxj - 0.
Jr=l k=i
Раскроем скобки и воспользуемся формулой \
cos т cos кх - -у [cos (к + 1) т + cos (к - 1) т].
Тогда последнее уравнение примет вид
5
а о +
к=1
оо
+ -¦ |ао cos т + аК [cos (к -[- 1) т + cos (к - 1) т]| = 0.
и=1
(7.94)
Преобразуем выражение в фигурных скобках. Имеем
ОО оо
{...} = ао cos т + 3 ак cos (& + 1) т + 23 ак- cos (к - 1) т =
к=1 К=1
00 оо
= ао cos т +' 2 ax-i cos кх + 2 аш cos кх.
к=2 к-о
Слагаемое а0 cos т внесем в первую сумму, а из второй суммы выделим
первое слагаемое, после чего объединим обе суммы. Тогда получим
00
{-•-} = "!+ 2 (а"-х + "к+i) cos кх.
К=1
Теперь равенство (7.94) можно записать в следующей форме:
6 е ~2~ "о ч-у ai
оо
+ а! -1 + (б к2)-----"К---Ч-у-
К=1
cos кх = 0.
248 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем
Так как это равенство должно выполняться для всех значений т, то отсюда
следует
бUq 8О,
~2~ ak-i + (б - к2) -)-ак+1 - 0 (к = 1,2,...).
Запишем эту систему равенств более подробно, учитывая, что индекс к
принимает значения 1, 2, . .
б а0 + е ах = О, ао + (б - l)ai + -L-а, - О,
(7-95)
"л- 0,1 + (б - 4) а2 -|-=- а$ = О,
Эти линейные однородные уравнения относительно а0, аъ а2, . . ¦ должны
иметь решение, отличное от нуля (так как существует периодическое решение
(7.91)). Поэтому определитель этой системы должен равняться нулю-
б 8 0 0 0
8 Т 6-1 8 ~2~ 0 0
0 8 ~2~ 6-4 8 ~г 0
0 0 8 2 6-9 тг
0 0 0 8 ~ 6-1
:0. (7.96)
Это уравнение, содержащее в левой части определитель с бесконечным числом
строк и столбцов (он называется определителем Хилла), устанавливает
искомую зависимость между б и е:
б = б (8),
при которой существует периодическое решение вида (7.91). В явной форме
эту зависимость можно установить следующим образом. Раскроем определитель
(7.96) при конечном п. Тогда получим обычное алгебраическое уравнение, из
которого найдем приближенное решение бп = б" (е). Точное решение
получается при п -> оо (это решение можно представить в форме сходящихся
рядов). График функции б = б (е) определяет одну из границ области
устойчивости решений уравнения Матье в
§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ
249
пространстве параметров б и е (ниже будет дано решение уравнения (7.96)
при |е |^1).
Аналогичными методами получаются три других уравнения для периодических
решений вида (7.92) и (7.93):
6-1 е X 0 0
S 8
X 6-4 X 0
8 8
0 X 6-9 X
0 0 8 X 6-1
А "Ь 9 9
25_
4
49
4
= 0, (7.98)
1 8 8
4 2 X 0
Е д 9 8
X б-Х X
8 , 25
0 X Ь-~4
8
0 0 X 6
49
4
О, (7.99)
Таким путем определяются области устойчивости для уравнения Матье;
результаты приведены на диаграмме Айнса - Стретта (рис. 7.8), где
областям устойчивости соответствуют заштрихованные поля, а областям
неустойчивости - белые поля. Диаграмма дана только для е X 0; для е < 0
она получается зеркальным отображением относительно оси б. Отдельные
области смыкаются между собой в точках б = п2/4 и 8 = 0, где п - целое
число.
Как видно из диаграммы, область устойчивости существует и при
отрицательных б. Очевидно, что аналогич-
250
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
ными методами можно построить соответствующую диаграмму и для уравнения
Хилла (7.76), разложив предварительно возбуждающую функцию ф (t)' в ряд
Фурье.
Проследим за изменением свойств параметрических колебаний при изменении
частоты со = 2п1Т возбуждения. Пусть частоте oi на диаграмме Айнса -
Стретта
отвечает точка М (см. рис. 7.8). Соответствующие значения параметров 8 и
г найдем из формул (7.90):
Из этих равенств видно, что при увеличении частоты возбуждения и
параметры 8 и е будут уменьшаться, а точка М будет перемещаться по прямой
асимптотически приближаясь к началу координат (на рис. 7.8 эта прямая
показана пунктиром). Из рисунка видно, что прямая (7.101) пересекает
области устойчивости и неустойчивости. Это означает, что при увеличении
частоты возбуждения со устойчивые и неустойчивые состояния системы будут
чередоваться. Заметим, что в некоторых случаях (см. пример 1 § 7.7)
параметр е может не зависеть от со. В этих случаях прямая, показанная на
рис. 7.8, будет параллельна оси б, однако вывод о чередовании устойчивых
и неустойчивых состояний системы при увеличении частоты возбуждения
остается справедливым.
