Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
выполнении которых невозмущенное движение х = 0, х = 0 будет
асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и Р в
заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным
образом, мы предполагаем, конечно, что для всех t, х, dc из области
(7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения
уравнения
(7.23).)
Заметим прежде всего, что условие a 0, 5 0 необходимо. Действительно,
если, например, 5 0, то,
пользуясь произвольностью а и р, полагаем а = const, Р - b 0. При этих
значениях а и Р движение неустойчиво при 5 < 0 и устойчиво, но не
асимптотически при 5 = 0 и а - const 0.
Перейдем к рассмотрению поставленной задает* С помощью подстановки
х - хг, i^ Cxt+Dxz, (7.26)
8 Д. Р. Меркин
226 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
где С и D - некоторые постоянные, которыми мы распорядимся в дальнейшем
соответствующим образом, заменим уравнение (7.23) эквивалентной системой
'X! = Сх 1 + Dx2, х2 = ухх + &х2. (7.27)
В этих уравнениях функции у и б определены равенст-
вами
Y=__C(a+CH-p_f б = _(а + с). (7.28)
Очевидно, что из асимптотической устойчивости относительно переменных х1
и х2 следует асимптотическая устойчивость относительно х и ?, и наоборот.
Возьмем функцию V в следующей форме:
V = 4r(xl + xt). (7.29)
Полная производная по времени функции V, вычислен-
ная в силу уравнений (7.27), после очевидных преобразований приводится к
виду
V = Сх 1 + (D + у)х1х2 + б х\. (7.30)
Функция V определенно-положительная. Если нам удастся подобрать такие
постоянные два чисда С и D, при которых производная V будет определенно-
отрицательной функцией в смысле Ляпунова, то невозмущенное движение будет
асимптотически устойчиво. Составим матрицу коэффициентов функции V:
С 4- (Я + Y)
~Г (D + У) 6
и подчиним главные диагональные миноры обобщенному критерию Сильвестра
(7.7)
Д1==С<-г]<0, A3 = C5-_L(D + y)2>v>0, (7.31)
где ц и v - сколь угодно малые положительные постоянные числа.
Положив С = - аи где ах = const 0, мы выполним первое условие (7.31),
если потребуем, чтобы число
§ 7.4. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 227
аг удовлетворяло дополнительному условию
О < г] <С at <С а = inf а. (7.32)
Пользуясь равенствами (7.28), приведем второе условие (7.31) к виду
F (D) = Di - 2 (Е + р - 2v)D2 + (Е - р)2 < 0, (7.33) где функция
Е (?, х, х) = [а (?, х, х) - aj (7.34)
на основании (7.32) принимает только положительные значения.
Составим уравнение
F {D) = 1>4 - 2 (Е + р - 2v)D2 + (Е - Р)2 = 0. (7.35)
Постоянное положительное число v во втором условии
(7.31) может быть сколь угодно малым. Поэтому будем искать корни
уравнения (7.35) в виде ряда
D = D0 (1 + dv + . . .), (7.36)
где D0 - корень уравнения (7.35) при v = 0, d - неко-
торый коэффициент, а точки означают члены, содержащие число v в степени
выше первой. Имеем
D2 = Dl (1 + 2dv + . . .),
Di = Dt (1 + 4dv + . . . ).
Внесем эти выражения для D2 и D* в уравнение (7.35) и сгруппируем члены.
Тогда с принятой точностью будем иметь
Dl - 2 (Е + P)D2 + {Е - Р)2 +
+ 4Z>6 - (В -f- fi)ld -f- 1} v -(- . . . =0.
Учитывая, что v - произвольное число, получим
Dt - 2 (Е + р)Dl + (Е- Р)2 = 0,
[Dt - (Е + рШ + 1 = 0. {1'61)
Из первого равенства найдем корни уравнения (7.35) при v = 0:
Д(r) = = VP + fE, D\ = - Dl=Y$-Y~E. (7.38)
8*
228 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Из второго равенства (7.37) определим d:
d= ----------
Е + р-Д*
Подставляя сюда значения Dt- из (7.38), получим di = di =---------------
, d2 = d^z
Возвращаясь к равенству (7.36), найдем корни уравнения (7.35)
Di
2 JГЕ$
D2=-Dz = Dl (1+-
\ 2 VEf,
+
(7.39)
При достаточно малом положительном числе v (его можно сделать сколь
угодно малым) выписанные члены определяют характер корней уравнения
(7.35). Так как все корни Dk уравнения (7.35) оказались вещественными, то
при фиксированных t, х, х график функции
F = F (D)
имеет вид, изображенный на рис. 7.5. При изменении t% х, х корни Dk и
график функции f = F (D) будут также
изменяться. Предположим, что области изменения корней Dk имеют вид,
показанный на рис. 7.5. В этом случае для любого числа D, находящегося
между точками N и М, имеет место неравенство
F (D) < 0.
§ 7.4. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
229
Это означает, что для случая, изображенного на рис. 7.5, существует
постоянное число D, при котором выполняется второе обобщенное неравенство
Сильвестра
(7.31) и, следовательно, невозмущенное движение будет асимптотически
устойчиво относительно х1 и х2 или х и ?.
Из приведенного рассуждения очевиден путь дальнейших действий: для
получения асимптотической устойчивости достаточно подчинить корни Dk
условиям, при которых области изменения корней Dx и D2, а также Dt и D3
не сомкнутся. Иначе говоря, для асимптотической устойчивости достаточно
потребовать, чтобы в области
(7.24) выполнялись неравенства
sup D2 < inf Du sup D3 < inf Dx.
Считая, что при достаточно малом v корни (7.39) уравнения (7.35)
определяются выписанными членами, приведем последние неравенства к виду
