Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
X (i) = II зсх хп\\ (7.50)
или, что то же самое,
Хп Х1 п
Х\ - хп\ , .. . , Хп - хпп
¦rU Х\2 • • • Хт
X(t) = %21 ^22 • • • Х2п
ХП1 ХП1 • • хпп
(7.51)
называется фундаментальной матрицей. Здесь, как и в дальнейшем, первый
индекс элемента x^j обозначает номер функции, а второй - номер решения.
Общее решение х (?) уравнения (7.45) определяется обычной формулой общего
решения линейного однородного дифференциального уравнения:
X (?) -С1Х1 + С%Хг + . . . + СпХп,
(7.52)
§ 7.5. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 233
.где Ci, . . Сп - произвольные' постоянные, определяемые из начальных
условий. В матричной форме общее решение (7.52) имеет вид
x(t) = X (t)-C, (7.53)
где С - матрица-столбец
Сг
(7.54)
Не нарушая общности, можно считать, что фундаментальная система решений
удовлетворяет следующим начальным условиям:
1, k = j,
( 1, ft = /,
*w(°)= I 0, кФ1
или в матричной форме
X (0) = Е,
(7.55)
где Е
единичная матрица 1 0 ,
Е =
О 1
о о
Обозначим через Д (t) определитель фундаментальной матрицы
Д (t) = det X (t). ^.56)
Пользуясь равенством (7.55), получим
Д (0) = det X (0) = det Е = 1.
(7.57)
В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая формула
Лиувилля:
t
) (Pu+...+Pnn)di
Д(") = Д(0) е°
Учитывая равенство (7.57), найдем, что при t - Т
234 гл. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем
Если в каком-нибудь решении ас" заменить t на t + Т, то в силу
периодичности матрицы Р (t) мы снова получим решение, так как вектор хк
(t + Т) будет по-прежнему удовлетворять уравнению (7.45), если ему
удовлетворял вектор хк (2). Полученное решение не будет совпадать с
первоначальным решением ас*- (?), но, как всякое решение уравнения
(7.45), оно может быть получено из общего решения (7.53) выбором
соответствующей матрицы-столбца С. Обозначив эту матрицу через Ак1 найдем
хк (t + Т) = X (t)-AK (к = 1, 2, . . ., п).
Отсюда видно, что фундаментальная матрица X (t + Т) решений хх (? -f- Т),
хг (t + Т), . . ., xn(t + Т) имеет вид
X (t + Т) = X (f)А, (7.59)
где А - постоянная матрица:
(7.60)
"и "12 • а1п
А~\\АХ, ... ,Ап\\ = "21 "22 * а2 п
аШ ап% • ' апп
По предположению фундаментальная система решений хх (?), . . xn(t)
удовлетворяет начальным условиям
(7.55). Поэтому, положив в равенстве (7.59) t = 0, найдем
X (Т) = X (0)Л = ЕА = А.
Следовательно, если известна фундаментальная матрица X (t), то матрица А
определится из последнего равенства:
Х(Т).
*и (?)
(Т)
АП
(7.61)
Покажем далее, что существует решение х (t), удовлетворяющее следующей
зависимости:
х (t + Т) = рх (г), (7.62)
где р - некоторое постоянное число (такое решение называется нормальным).
Действительно, любое решение уравнения (7.45) можно получить из общего
решения (7.53). Поэтому если нормальное решение существует, то должна
существовать такая постоянная матрица-
§ 7.5. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 235 столбец
р
(7.63)
для которой будет справедливо равенство
х (t) = X (ор.
Так как по предположению х (t) удовлетворяет равенству (7.62), то, имея]
в виду, что х (t + Т) = X (t + Т) 0, получим
X(t + Г)Р = рХ (f)P
или, пользуясь равенством (7.59),
X (t)A$ = рХ (*)р.
Группируя члены, найдем
X (t) (А - р?)р = 0.
Учитывая, что это равенство должно выполняться при всех t, получим
(А - р?)р = 0.
Это матричное уравнение, в котором неизвестными являются матрица-столбец
?> и число р, эквивалентно п скалярным уравнениям
(ап - р)рх + а12Р2 ¦+...+ а17"Рп = 0.
a2lPl + (а22 Р)Рг + • • • "Г "2nPn == 0,
amPi + Я712Р2 + • • . + (апп - р) Рп = 0.
Для того чтобы система п алгебраических однородных уравнений относительно
рх, . . ., |3" имела решение, отличное от нуля, необходимо и достаточно,
чтобы определитель системы равнялся нулю:
ап-р а12 ... а
det (Л - рЕ) =
а21
а 22 -Р
m
.-Р
= 0. (7.64)
Каждому корню pfr этого характеристического уравнения (для простоты будем
предполагать, что среди корней нет кратных) отвечает свое решение хк (t),
удовлетво-
236 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
ряющее условию (7.62). В результате получим п нормальных решений а?! (t),
. . ., хп (t), удовлетворяющих условию (7.62):
(t + Т) = Pi?! (t), . . ., хп (t + Т) = рпхп (t). (7.65)
Эта система решений линейно независима и может быть принята за
фундаментальную систему решений. Покажем теперь, что нормальные решения
имеют вид
Хц (t) = е"*'ф* (t) (к = 1, . . п), (7.66)
где (?) - периодическая матрица-столбец периода Т
Фиг (О
ф|г (t + Т) = <рк (t), (7.67)
<рИ0;
фПК (О
а а,; - постоянные числа, называемые характеристическими показателями,
вычисляются по формуле х)
ос^=4'1п^ (* = !.•••.")• (7.68)
Действительно, внесем в равенства (7.66) значение t, равное ? + Г.
Получим
ж" (? + Г) = А(г+Г)ф* (? + Г).
Пользуясь равенствами (7.67) и (7.68), последовательно найдем
xk (t + T) = еа^тщ (t + T) = е**'Д1п Р^Т ф" (?) =
:== Р*хк (?),
т. е. равенства (7.65).
Теперь можно перейти к исследованию устойчивости движения. Будем считать,
что за фундаментальную систему решений уравнения (7.45) принята система
