Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
поперечное движение оси
210 ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
ротора, вращающегося в гидродинамической среде, всегда неустойчиво.
Ограничиваясь случаем X - Y - 0, рассмотрим характер неустойчивого
движения более подробно. Для этого умножим второе уравнение (6.131) на i
= -1 и сложим почленно оба урав-
нения:
х + *У + к2 (х + iy) + Р (ix - у) = 0
или
z (к2 -J- ip) z = 0, (6.132)
где комплексная переменная z определена равенством
z - х -(- iy.
Решение уравнения (6.132) будем искать в обычной форме: z = Аеи,
где А - некоторое комплексное число. Внося г = Аеи в уравнение (6.132),
получаем
[X3 -f (А3 + г"] А<*и = 0.
Отсюда
- - А'3 - ip.
Будем считать, что р <§; А3. Тогда, извлекая корень из комплексного числа
-к2 - ip, находим с точностью до р2//с4
^1 = "2у" - А.2 = - 2д. ~Ь ki.
Общее решение уравнепия (6.132) примет вид
^-t -?-t
z = Ae2* е-Ш+Ве 2|г е(tm),
где А и В - произвольные постоянные интегрирования.
Второе слагаемое быстро убывает по модулю, поэтому, пренебрегая им,
получим
-2.*
z - Ае2* е-Ш.
По своему определению z является комплексной координатой точки Ог. Связь
между полярными координатами г и ср точки 01 и переменной z определяется
равенствами
Г = I z I , ф = arg Z.
Следовательно,
г = | А | е2 ' ф - к/.
Таким образом, точка 02 движется по логарифмической спирали, а положение
равновесия центра ротора является неустойчивым фокусом. На рис. 6.10
приведена фотография, заимство-
§ 6.0. СИСТЕМЫ С НЕКОИСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАМИ
211
ванная из работы [24], на которой воспроизведена траектория точки 01;
полученная П. Л. Капицей при постановке эксперимента.
Для стабилизации поперечного движения оси ротора устанавливается
кольцевой демпфер, создающий силы сопротивления,
Рис. 6.10
пропорциональные скоростям с одинаковым коэффициентом демпфирования Ъх =
МЬ. Уравнения движения (6.131) принимают вид
х Ы №х - ру = X,
У + by + khj + рх = У.
Пользуясь условием асимптотической устойчивости (6.122), получим
Ь > р/к.
Это неравенство определяет основное требование, предъявляемое к демпферу.
Пример 3. Гировертикаль с радиальной кор" рекцией. В авиации широкое
распространение получили гировертикали с радиальной коррекцией. Прибор
устроен следующим образом. Гироскоп (на рис. 6.11 он не показан) помещен
в кожух I. На кожухе установлены два уровня 1 и 2, заполненных
токопроводящей жидкостью '). При отклонении оси гироскопа от вертикали
'С, в уровнях создается разность потенциалов, которая усиливается
специальным устройством и подается на датчики моментов Дх и
х) Вместо двух линейных уровней, как правило, устанавливают один шаровой
уровень. Тот же эффект в конструкциях более старого выпуска создавался с
помощью струй воздуха.
212
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Д2. Уровень 1 управляет датчиком Д1, а уровень 2 - датчиком Д2. При
повороте внешнего кольца карданова подвеса на угол а датчик Д2 создает
момент Lx = -ха (для малых углов), а при повороте кожуха на угол р датчик
Д1 создает момент Ьц = '/(5, где х -
РФ
'х
Рис. 6.11
крутизна характеристики датчиков моментов. Центр тяжести системы
совпадает с точкой пересечения осей карданова подвеса.
Пользуясь теоремой моментов или уравнениями Лагранжа, легко получить
дифференциальные уравнения движения оси гировертикали (массой подвеса
пренебрегаем)
/а + Ъа - ЯР - хр = Xlt
/р + Ьр + На + ха = Х2.
В этих уравнениях J - экваториальный момент инерции гироскопа, Н - его
кинетический момент, Ъ - коэффициент сил сопротивления, и Х2
- члены, содержащие а, Р, а и р в степени
выше цервой.
Силы -Нр и На, - гироскопические, a -хр и ха - неконсервативные (в
гироскопии их называют силами радиальной коррекции).
Составим характеристическое уравнение системы
Jk2 + bk - Ilk - х I Hk + x Jk2 + bk j " U
или, раскрывая определитель,
JW + 2 Jbk3 + (Я2 + b2)k2 + 2 xHk + x2 = 0.
Так как все коэффициенты этого уравнения положительны, то критерий
Гурвица (4.32) сводится к одному неравенству
Д3 = а1а2а3 - а0а^ - а2а4 > 0.
§ 6.9. СИСТЕМЫ С НЕКОНСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАМИ 213
Внесем сюда значения коэффициентов и преобразуем полученное выражение.
Получим
Д3 = Ш (Я2 + Ь2) (ЬЯ - Y.J) > 0. (6.133)
При отсутствии сил сопротивления (Ь = 0) это условие имеет
противоположный смысл (Д3 < 0), что свидетельствует о неустойчивости
системы. Из неравенства (6.133) найдем значение коэффициента
демпфирования, при котором имеет место асимптотическая устойчивость:
Ь > кЛН.
Отметим, что кинетический момент Я гироскопа очень велик по сравнению с
%J. Поэтому нижняя граница для коэффициента демпфирования очень мала.
Практически для асимптотической устойчивости достаточно естественных сил
сопротивления воздуха, трения в опорах и т. п.
Г Л А В А VII
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 7.1. Функции Ляпунова для неавтономных систем.
Обобщенный критерий Сильвестра
Прежде чем перейти к определению функций Ляпунова для неавтономных
систем, остановимся кратко на некоторых общих вопросах прямого метода.
Об устойчивости движения мы судим по отклонению в пространстве хх, . . .,
