Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 67

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 101 >> Следующая

действием произвольных потенциальных и неконсервативных позиционных сил и
линейных диссипативных сил с положительным сопротивлением, считая, что
возмущенное движение определяется уравнением (6.50).
Теорема 4. Если в положении неустойчивого равновесия консервативной
системы потенциальная энергия П (q) имеет
6.8 ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ
199
максимум, определенный наинизшими членами разложения ее в ряд по степеням
q, то при добавлении произвольных неконсервативных позиционных сил и
линейных диссипативных сил равновесие останется неустойчивым [38].
Доказательство. Уравнение возмущенного движения (6.50) в сделанных
предположениях имеет вид
-^-(Aq) = - gfadII+ R(?) Bq. (6.123)
Здесь It (q) - произвольная неконсервативная позиционная сила, В -
постоянная неотрицательная, a A (q) - определенно-положительная матрицы,
П (q) - потенциальная энергия системы, имеющая при q = 0 максимум.
Разложим потенциальную энергию в ряд по степеням q:
П (?) = Пт (?) + . . ., (6.124)
где Пт (?) - однородная форма степени т, а точки означают совокупность
членов, содержащих координаты в степени выше т. Так как по условию
теоремы максимум потенциальной энергии П (?) определяется наинизшими
членами разложения ее по степеням ?, то однородная форма Пт (?) должна
быть определенно-отрицательной функцией координат ?, причем число т,
конечно, четное. Возьмем следующую функцию V,
1
V = Aq-q + -Bq-q,
и вычислим ее производную по времени в силу уравнения возмущенного
движения (6.123). Тогда, учитывая равенство (6.15), получим
V = Aq-q - g-grad П.
На основании теоремы Эйлера об однородных функциях и равенства (6.124)
будем иметь
S
q-grad П= y,?it-|S-==mnm(?) + •••
R=1 k
Следовательно,
t = Aq-q - mlim (?) + ...
Первое слагаемое в этом выражении представляет определенно-положительную
функцию | скоростей, а второе слагаемое - тПт (?) - определенно-
положительную функцию координат. Поэтому в окрестности нуля q - 0,
200
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
q = 0 производная V функции V будет определенно-положительной функцией
координат и скоростей. Так как сама функция V может принимать
положительные значения (например, при q - q), то доказательство теоремы
является прямым следствием теоремы Ляпунова о неустойчивости движения
(см. § 2.4).
Заметим, что условие, по которому определяется максимум потенциальной
энергии, можно ослабить.
в. Общий случай. Перейдем к рассмотрению случая, когда на систему
действуют линейные потенциальные, диссипативные, ускоряющие,
гироскопические, неконсервативные позиционные и нелинейные силы.
Уравнения возмущенного движения возьмем вначале в форме
(6.46)
г + Во* + G& + С* + Pz = Z. (6.125)
Составим характеристическое уравнение
А = det (EX2 + В0Х + GX + С + Р) = 0 (6.126) или, более подробно,
Д =
-J- Ъ-]% -j- Сц • • SisX + cls + ри
. . X2 + b X 4- с 1 s 1 ss
: 0.
Раскроем определитель и сгруппируем члены по степеням X:
Д = X28 + ОуХ^ + .... + a2s^X + д2" = 0. (6.127)
Очевидно, что
"1 = &1 + . . . . + bs = Sp В = Sp Въ
a2s = det (С + Р) = det Cv 1 ' }
где Вг и Сх - матрицы исходного непреобразованного уравнения (6.42).
Пользуясь этими равенствами, докажем теоремы, определяющие необходимые
условия устойчивости движения.
Теорема 5. Если ускоряющие силы доминируют над диссипативными, то система
будет неустойчива при любых других линейных и нелинейных силах.
Доказательство. В соответствии с определением доминирования диссипативных
и ускоряющих сил будем иметь (см. § 6.3, с. 167)
Sp В0 = Sp В = Sp < 0.
§ 6.8. ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ
201
На основании первого равенства (6.128) коэффициент ах характеристического
уравнения (6.127) будет отрицателен. Из этого следует, что среди корней
характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть
которого положительна. Это доказывает теорему.
Теорема 6. При отсутствии нелинейных членов (Z = 0) асимптотическую
устойчивость нельзя осуществить без диссипативных сил.
Доказательство. При отсутствии диссипативных сил ах = 0 и, следовательно,
не выполнен критерий Гурвица, необходимый для асимптотической
устойчивости линейной автономной системы.
Теорема 7. Если определитель j | = | С + Р \ отрицателен, то система
неустойчива при любых гироскопических, диссипативных и ускоряющих силах и
вне зависимости от нелинейных членов Z.
Доказательство. В условиях теоремы коэффициент a2s характеристического
уравнения (6.127) отрицателен (см. второе равенство (6.128)). Из этого
следует, что хотя бы один корень уравнения (6.127) имеет положительную
вещественную часть. Это доказывает теорему.
Следствие (см., первую теорему Томсона - Тета - Четаева § 6.5). Если
неустойчивость изолированного положения равновесия потенциальной системы
имеет нечетную степень, то стабилизировать равновесие нельзя никакими
гироскопическими, диссипативными и ускоряющими силами.
Действительно, если система потенциальна, то Р = 0 и при изолированном
равновесии и нечетной степени неустойчивости \ Сх\ = | С | < 0 (см. §
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed