Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Л. Капица [24].
На рис. 6.8 изображен ротор 1 массой М, вращающийся с угловой скоростью
со в кольцевом кожухе 2.
Пространство между ротором и кожухом заполнено гидродинамической средой,
например газом. Если центр Ох ротора совпадает с центром О кожуха, то
трение о газ вызовет только тормозящий момент, который не скажется на
положении оси ротора. Покажем, что при смещении
оси Ох ротора возникают неконсервативные силы (мы пользуемся объяснением
П. Л. Капицы; заметим только, что он не классифицировал силы по их
структуре).
Пусть для примера центр Ot ротора сместился вправо вдоль оси х на
величину OOi=x. Газ в кожухе увлекается вращением ротора и приобретает
скорости щ и у2. Так как зазор между кожухом и ротором в направлении
сдвига становится меньше, а количество газа в круговом движении
постоянно, то v2>vi. Поэтому трение поверхности ротора о газ не будет
одинаковым с правой и с левой стороны; очевидно, что оно будет больше в
тех частях его поверхности, где разность между периферийной скоростью
ротора и газа больше. В сделанных предположениях о направлении смещения
центра ротора левая его сторона будет испытывать большее трение о газ,
чем правая, в результате чего появится сила
Рис. 6.8
208
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Sy (кроме силы Sy, перпендикулярной смещению, возникают еще силы в
направлении передвижения; эти силы, вызванные явлением Бернулли, малы и
для простоты изложения нами не учитываются).
Вычисление силы Sy произведем в простейших предположениях, а именно:
когда скорость газа велика и его движение можно принять полностью
турбулентным; кроме того, предполагаем, что трение ротора от вязкости
газа в первом приближении не зависит. Обозначим величину зазора между
ротором и кожухом при совпадении их центров через е. Пусть центр ротора
сместился по оси х на величину 001 - х. Проведем из точки 01 прямую ОхМ
под углом 0 к оси х. Величину зазора КМ при смещенном положении ротора
обозначим через ех (рис. 6.8). Из треугольника 0М01 по теореме косинусов
найдем (радиус кожуха ОМ, очевидно, равен R + е, где R - радиус ротора)
(R -f- е)2 = х2 -f- (R -j- ех)2 - 2х (R -J- ех) cos (я - 0), или,
раскрывая скобки,
2Re -)- с2 = х2 -j- 2Rex -)- ех -(- 2Rx cos 0 -J- 2хех cos 0.
Считая величины х, е и, следовательно, ег малыми по сравнению с R,
пренебрежем членами второго порядка малости:
2Re = 2Rex + 2Rx cos 0.
Отсюда
ex - e - x cos 0.
Среднюю скорость газа при несмещенном роторе принимают равной Яш/2, т. е.
половине скорости точек ротора, лежащих на его периферии. При смещении
ротора скорость у газа в зазоре будет меняться, но количество газа,
проходящего через любое сечение, равняется тому, которое было до
перемещения ротора.
Следовательно,
Яш
vexl = 2 eh
где I - толщина ротора. Пользуясь выражением для ех и сокращая на I,
получим
Яш
v (е - х cos 0) = -2- е- (6.130)
При больших скоростях сила трения AS, действующая на элемент наружной
поверхности ротора RI АО, будет приближенно пропорциональна квадрату
относительной скорости (Яш - у)2 и плотности окружающей среды р. Сила эта
направлена по касательной к ротору (см. рис. 6.8). Проектируя ее на ось у
и интегрируя по 0 от 0 до 2я, получим
Sy - - хрЯ/ ^ (Яш - у)2 cos 0 АО,
где х - коэффициент трения.
§ 6.9. СИСТЕМЫ С НЕКОНСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАМИ 209
Найдем скорость v из равенства (6.130) и внесем ее в это выражение для
Sy\
2Я
5" = -хрДЧ"в*$ (l-Te~*cos б) cos9d9-о
Будем считать, что смещение х мало по сравнению с величиной зазора е.
Тогда, разлагая подынтегральное выражение в ряд по степеням х и
ограничиваясь членами первого порядка малости, получим после очевидных
преобразований
лхр Ш3ш2 SV= 2 * е х"
Аналогично получается составляющая ~SX:
лхр IRhв2
= 2 * ~е У'
К ротору, кроме сил трения Sx и Sy, приложена сила упругости F, проекции
которой на оси координат будут Fx = -сх и Fy - -су, где с - коэффициент
жесткости вала ротора на изгиб (на рис. 6.9 изображены силы S и F).
Пользуясь теоремой о движении центра масс, составим дифференциальные
уравнения движения точки О у.
Мх = Fx -J- Sx -j- X,
My = Fy -j- Sy -J- Y.
Здесь X и Y - неучтенные нелинейные члены, содержащие х, у и $, у в
степени выше первой.
Внесем значения Fx, Fy, Sx и Sy, разделим на массу ротора М и
перенесем часть членов в левые части уравнений. Тогда, введя обозначения
с лхр lR3a>2
к* = Ж * р = ~2~ ' еМ '
получим
х к2х - ру = X, у -j- к2у -j- рх = Y. (6.131)
В этих уравнениях слагаемые к2х и к2у, полученные от упругой силы F,
представляют потенциальные силы, слагаемые - ру и рх (проекции главного
вектора S сил трения, взятые с обратным знаком и отнесенные к единице
массы) - неконсервативные силы, X и Y - нелинейные члены.
Левые части уравнений (6.131) совпадают с уравнениями (6.115). Для
последних было показано, что при равенстве коэффициентов Су и с2 (в
данном примере Су = с2 - к2), движение неустойчиво при любых значениях р
ф 0 и любых нелинейных членах. Поэтому при отсутствии демпфирования
