Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме систем, содержащих упругие тела, существуют различные устройства, в
частности гироскопические (см. пример 3), в которых неконсервативные силы
создаются с помощью специальных приспособлений (это делается, в
частности, для ускорения переходных процессов).
Учитывая характер настоящей книги, мы можем рассмотреть только некоторые,
наиболее простые задачи.
Пример 1. Модель упругого стержня, находящегося под действием следящей
силы. Рассмотрим два однородных стержня длиной Zj и 12, связанных
шарниром и спиральной пружиной жесткости с2. Первый стержень может
вращаться вокруг неподвижной опоры О, с которой он связан другой
спиральной пружиной жесткости сх. Обе пружины находятся в
недеформированном состоянии, когда стержни расположены по одной прямой
(оси х - см. рис. 6.7). На второй
стержень действует сила F, направленная всегда вдоль оси стержня
(следящая сила). Эта система может рассматриваться как модель упругого
стержня, находящегося под действием следящей силы.
Составим дифференциальные уравнения возмущенного движения. Кинетическая
энергия системы обычными методами (при
1) См. книгу В. В. Болотина [11]. По первой проблеме подробный обзор
методов и полученных результатов дан в статье Г. Херрма-на [54].
§ 6.9. СИСТЕМЫ С НЕКОНСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАМИ 205
подсчете кинетической энергии второго стержня используется теорема
Кёнига) приводится к виду (выписаны члены только второго порядка малости)
Т -1/2 ("цфх -Ь 2"1->([тф2 ачгФз)>
где
ап - -f* аХ2 = */з a22 = ^2 4" тЛ~,.
Здесь /j - момент инерции первого стержня относительно оси вращения О, m2
- масса второго стержня, /2 - момент инерции второго стержня относительно
его центра тяжести.
Потенциальная энергия пружин Пх определяется равенством
1 о 1
Пх = -j ецр1 + ~2-с2 (ф.: - фх)2.
Найдем обобщенные силы и Q',, отвечающие следящей силе F. При изменении
одного угла ф2 (фх = const) работа силы F равна нулю. Поэтому
<?; = 0.
Дадим теперь приращение бфг углу ф15 оставив угол ф2 без изменения, и
вычислим работу 84 х силы F на этом виртуальном перемещении. Имеем
64' = - Flx sin (ф2 - фх) бфх-Отсюда для малых углов
Q[ = -Fh (Фг - Фх):
Полные обобщенные силы, соответствующие углам фх и ф2, найдем по формуле
(для простоты считаем, что вся система расположена на гладкой
горизонтальной плоскости, р результате чего силы тяжести исключены из
рассмотрения)
5Пх
^ = (fc = 1'2)-Пользуясь найденными выражениями, получим
Ql = "ехфх + С2ф2, @2 = С2фх с2ф2,
где
с2 '- Fli, е2 = с2 - Fix-
Применяя второй метод Лагранжа, составим уравнения возмущенного движения
системы около положения равновесия:
аххфх + "хгфг + ехФх - егФг = Фх>
а2хфх ~Ь а22фг - сгфх ' i' сгф2 = Фа-
Здесь Фх и Ф2 - неучтенные ранее члены, содержащие фх и ф2 в степени выше
первой.
2С6 гл. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
В этих уравнениях матрица коэффициентов Ci
при координатах ф2 и ф2 не симметрична. Разбивая ее па симметричную н
кососимметричную части по формулам (6.5), найдем
О р
е1 е2
- С2 с2
С11 с12 С21 с22
Р =
¦ р О
где
[ = е1 - С1 4" с2 ¦
FL
с12 1
с22 - с2,
е-2 4" Ч 1 , 0 ,
¦ c2i 2 "2 ' 1- 2)>
1 1 р = - ~2 (е2 - с2) = ~2* ^1-
Из этих выражений видно, что следящая сила F создает неконсервативные
позиционные силы
1 1 Pi = -тг FI ф2, Р2 = - -у Fhф1.
В потенциальную энергию всей системы 1
П = у (сиф* -)- 2с12ф1ф2 -)- с22ф2) входят слагаемые, зависящие и от
следящей силы (см. выражения
ДЛЯ <'}{j).
Составим характеристическое уравнение
Цц/.2 -j- (?] (1\р^ - <?2
а21>.2 - с2 а22Я2 + с2
= 0,
или, раскрывая определитель,
а№ ЪХ2 4- с0 = 0,
где
12"
Ь - ацС2 4" а22^1 4" а12 (е2 4" сг)> с2 (е1 е2) ^ С1С2-
Рассматриваемая система будет устойчива в первом приближении, если все
корни относительно X2 будут вещественными отрицательными числами. Для
этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Ь > 0, Д = Ь2 - 4ас0 > 0 (6.129)
(" > 0 и с0 > 0 при любых значениях следящей силы F). Из этих неравенств
можно найти наименьшее значение следящей силы, при котором сохраняется
устойчивость системы (легко проверить, что при отсутствии следящей силы
система устойчива). Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая
идентичных стержней
§ 6.9. СИСТЕМЫ С НЕКОНСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАМИ
207
И пружин. При т1 = т2 = т, lx = l2 = I и сх = с2 = с получим Яц = 4/з
ml'1, агз = 4/2 ml2, а22 = 4/з ml2, а = 5/3 m2Z4, ех = 2с - FI, е2 = с -
FI.
После подстановки в (6.129) получим
Ь = ml2 (be - >0,
а = т2!4
Зс - -Q- FI - 4-
>0.
Отсюда находим, что рассматриваемая система будет устойчива в первом
приближении при
F<-
20
3
у ж 0,504 у
Если модуль следящей силы будет больше этой величины, то второе
неравенство (6.129) приобретает противоположный смысл и система сделается
неустойчивой.
Пример 2. Неустойчивость ротора, вращающегося в аэродинамической среде.
Как показывает опыт, вращающийся в кожухе ротор при наличии трения об
аэродинамическую среду приобретает неустойчивое поперечное движение. Это
явление, хорошо иллюстрирующее первую часть § 6.8, впервые исследовал П.
