Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
функция V - W положительна, что свидетельствует о справедливости
обобщенного критерия Сильвестра.
Для определенно-отрицательной функции V, имеющей вид квадратичной формы
(7.4), обобщенный критерий Сильвестра имеет вид
Ai < -Si <0, Д2 > б2 > 0, А3 < -б3 < 0, . . ., (7.7)
где 61; 62, . . . - положительные числа.
Поясним обобщенный критерий Сильвестра примерами.
1. Рассмотрим функцию
V (ж, t) = t (х2 -j- ж2) - 2 cos Составим матрицу коэффициентов
t - cos t - cos t t
и главные диагональные миноры
Aj - t, A2 = t2 -- COS2 t.
Если положить t0 = 1, то при всех "1 будем иметь l)
Aj > 1 > 0, Д2 > 1 - cos2 1 ж 0,71 > 0.
Обобщенный критерий Сильвестра (7.5) выполнен, следовательно,
рассматриваемая функция определенно-положительна в смысле Ляпунова.
2. Матрица коэффициентов для функции
F (ж, t) - {1 - a cos [(ж2 ж2)г]}ж2 + 2a sin [(ж2 + ж2)1]ж!ж2 +
+ (1 + a cos [(ж2 + ж\)t\) ж2
г) Имеем dhjdt = 2г + sin 21 ^ 0, причем знак равенства
имеет место только при 1=0 (так как ж > sin х при х >• 0). Сле-
довательно, Д2 (1) при t > 0 неограниченно возрастает.
218 гл. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем имеет вид
1 - a cos l(ij + 'ig) t] a sin [(-^i + -i'i) t] II a sill [(ж(r) -f лф t\ 1
-f a cos [(л.1(r) -f- x2) t]
Составим главные диагональные миноры
Aj = 1 - а cos [(х2 -J- ar(r))t], Д2 = 1 - a2.
Очевидно, что при любых t, хъ ,г2 будем иметь А, >1 - I а [, Д2 = 1 - а2.
Отсюда следует, что при | о | < 1 рассматриваемая функция будет
определенно-положительной в смысле Ляпунова.
Вернемся к дальнейшим определениям.
Если при условиях (7.1) значения | V | не превосходят некоторого
конечного положительного числа, то функция V называется ограниченной. При
достаточно малом значении р такой будет в силу непрерывности всякая не
зависящая от t функция V.
Если ограниченная функция V такова, что для всякого положительного I, как
бы мало оно ни было выбрано, найдется такое отличное от нуля
положительное число б, что при
t>t0, (7.8)
будет выполняться неравенство
I V | < I, (7.9)
то говорят, что функция V допускает бесконечно малый высший предел. Грубо
говоря, смысл бесконечно малого высшего предела состоит в том, что модуль
функции V (х, t) можно сделать сколь угодно малым при любом t t0 только
за счет уменьшения модулей всех Xj.
В силу непрерывности бесконечно малый высший предел имеет всякая не
зависящая от t функция V. Но функции, зависящие от f, хотя бы и
ограниченные, могут не иметь его.
В качестве примера рассмотрим три функции: sin2 [(х\ + . . . + x2)t]\ (х\
+ ?(r))sin2 Г, t (х\ + аф -
- 2 cos t-xгх2.
Первые две функции ограничены и положительны, но только вторая из них
допускает бесконечно малый высший предел. Заметим, что ни одна из этих
двух функций не является знакоопределенной (так как при бесчисленных
значениях t они могут обратиться
§ 7.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА
219
в нуль). Третья функция определенно-положительна, но она неог-раничена и,
следовательно, не имеет бесконечно малого высшего йредела.
В заключение этого параграфа отметим, что полная производная функции V
(х, t) по времени t, взятая в предположении, что переменные Xj
удовлетворяют дифференциальным уравнениям возмущенного движения (1.16),
вычисляется по формуле
* = + + (7.10)
1 П
Читателю полезно сравнить это выражение с равенством (2.12).
§ 7.2. Основные теоремы прямого метода
для неавтономных систем
Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем читаются и
доказываются почти так же, как и соответствующие теоремы для автономных,
систем. Поэтому мы приведем сразу все основные теоремы и докажем только
одну из них.
Теорема Ляпунова об устойчивости движения. Если для дифференциальных
уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V,
производная которой V в силу этих уравнений была бы знакопостоянной
функцией противоположного знака с V или тождественно равна нулю, то
невозмущенное движение устойчиво.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти
знакоопределенную функцию V, допускающую бесконечно малый высший предел,
производная которой V в силу этих уравнений была бы знакоопределенной
функцией противоположного знака с V, то невозмущенное движение
асимптотически устойчиво.
Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения. Если для
дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти функцию V,
допускающую бесконечно малый высший предел, производная которой V в силу
этих уравнений есть функция знакоопределенная, а сама функция V в
окрестности нуля переменных хк и при всех t -
t0, где t0 сколь угодно велико, может принимать зна-
220 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
чения того же знака, что и производная, то невозмущенное движение
неустойчиво,
Прежде чем перейти к теореме Четаева о неустойчивости движения,
необходимо дать дополнительное определения области V 0 (см. § 2.4).
Совокупность значений переменных хк, удовлетворяющих в области (7.1)
