Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
,хп изображающей точки М от начала координат О (см. § 1.1). В свою
очередь (см. § 2.1), в прямом методе Ляпунова для автономных систем
близость изображающей точки М к началу координат определяется по модулю
знакоопределенной функции V: если величина | V (х) | мала, то в силу
непрерывности функции V (х) точка М будет близка к началу координат.
Картина изменится, если функция V будет зависеть явно не только от
вариаций хх, . . ., хп, но и от времени t. В этом случае
знакоопределенная функции V (х, t) в обычном понимании может сделаться
достаточно малой по модулю не за счет близости точки М к началу координат
О, а за счет изменения времени t. Действительно, функция
V (х, i) = e"f (л?! + xf)
в обычном смысле определенно-положительна: при всех значениях хх и х2, не
обращающихся в нуль одновременно, она положительна и в нуль обращается
только в том случае, если хх = х2 = 0. Однако судить о близости
изображающей точки М к началу координат по этой функции нельзя, так как с
течением времени t за счет уменьшения множителя ё~1 она сделается и в
дальнейшем будет оставаться меньше любого наперед заданного
положительного числа е при любых конечных значениях хх и х2. В связи с
этим функции V, зависящие явно от времени t, требуют дополнительных
определений (читателю полезно еще раз просмотреть § 2.1).
Предполагается, что вещественные функции V (х, t) определены для всех
вещественных значений t и
§ 7.1. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 215
Хг, . . ., хп, подчиненных условиям
(7.1)
где t0 и (я - постоянные (t0 )> 0, р ;> 0), причем р может быть мало.
Считается, что в области (7.1) эти функции непрерывны, однозначны и
обращаются в нуль, когда все
равны нулю:
V (0, t) = 0. (7.2)
Если при условиях (7.1), при t0 достаточно большом а р достаточно малом,
рассматриваемая функция V принимает кроме нулевых значения только одного
знака, то такую функцию называют знакопостоянной. Если хотят отметить ее
знак, то говорят, что она положительна или отрицательна.
Функция V, зависящая явно от t, называется определенно-положительной,
если существует такая не зависящая от t определенно-положительная функция
W {х), что в области (7.1) при достаточно малом р и достаточно большом t0
будет
V (х, t) > W (х), (7.3)
и называется определенно-отрицательной, если при тех же условиях будем
иметь
-V (х, t) > W (х). .
Из соотношения (7.3) следует, что для определенноположительной функции V
(х, t) разность V (х, t) - W (х) представляет функцию положительную.
Требование существования граничной функции W (х) для определенно-
положительной функции V (х, t), зависящей явно от времени t, можно
проиллюстрировать геометрическими соображениями.
В пространстве V, хх, . . ., хп построим поверхность W = W (х) и при
фиксированном значении времени t поверхность F=F (х, t).
При изменении t поверхность F (х, t) будет деформироваться, но при этом
она не должна опуститься ниже граничной поверхности IF - W (х) (рис.
7.1).
216 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Точно так же, если в пространстве хх, . . хп построить две замкнутые
поверхности W (х) = с и V (х, t) = = с (последняя для фиксированного t),
то при изменении t y^xj = c поверхность V (х, t) = с будет де-
формироваться, но она не должна выйти наружу поверхности W (х) = = с
(рис. 7.2). Прежде чем перейти к дальнейшим определениям, рассмотрим, по
каким признакам можно в некоторых случаях определить рис 7 2
знакоопределенность функции V{x, t)
в смысле Ляпунова. Предположим, что функция V (х, t) имеет вид
квадратичной формы
П П
ГО.О=4-1] II
к=1 з= 1
al:jxkXj,
(7.4)
где ah.j - некоторые функции времени t и переменных хр.
ОIjfj = j (ж, t).
Если в области (7.1) при t0 достаточно большом, а р достаточно малом все
главные диагональные миноры матрицы
"11 (х, t) . • • "1п (*> 0
ап1 (*' г) • • • апп (*¦ 0
удовлетворяют обобщенному условию Сильвестра
Ai - Кп Si 0,. • • I Дп "и • • . сс1п >8п>0,
ап1'--апп
(7.5)
где 8и . . 8п - некоторые положительные постоянные, то функция V (х, t),
определяемая равенством (7.4), будет определенно-положительной в смысле
Ляпунова. Действительно, так как все миноры Al5 . . ., Дп положительны,
то функция V (х, t) определенно-положительна в обычном смысле. За
ограничивающую функцию W (х) можно выбрать, в частности, функцию
W (х) - -р- е (хх -(- х% -j- . .. -[- хп),
(7.6)
где е - некоторое положительное число. Покажем, что число е можно выбрать
так, что функция V - W будет
§ 7.1. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 217
положительной. Для этого рассмотрим миноры матрицы функции V - W:
ац - в ¦ а1!(
Д*(ф= ОС22 - е ¦ ¦ ап
КМ аК2 ¦ • "(С/С- В
При е = 0 все А* будут совпадать с минорами Ак и, следовательно, они
положительны (А* (0) = ^ 0).
В силу непрерывной зависимости миноров А* (е) от параметра е можно
утверждать, что всегда найдется достаточно малое положительное число е,
при котором все А* (е) будут также положительны. Из этого следует, что
