Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
корни характеристического уравнения (6.106) относительно X2 имеют вид
>.2 --- + ai.
Отсюда
l=±rp.(i±j).
Таким образом, среди корней характеристического уравнения (6.106) имеются
корпи с положительной вещественной частью. Это доказывает теорему.
1) Легко показать, что Д (-/.) = (-1)6Д (X). Следовательно,
если X - корень уравнения Д (X) = 0, то -X тоже корень этого
уравнения. Поэтому, если имеется корень, вещественная часть ко-
торого не равна нулю, то должен быть корень, вещественная часть
которого положительна. Но в этом случае движение будет неустойчиво, что
противоречит доказанной теореме 1 § 6.7. Из этого следу-
ет, что все отличные от нуля корни уравнения (6.85) - чисто мнимые числа.
§ 6.8. ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ
193
В этой теореме предполагалось, что неконсервативные позиционные силы
линейны. Кроме того, не учитывались силы сопротивления, которые
практически существуют почти во всех системах. Поэтому рассмотрим теперь
случай произвольных неконсервативных позиционных сил, считая, что сила R
(q) обращается в нуль при q - О и что эта точка равновесия изолирована,
т. е.
R (0) = 0, R (q) Ф 0, если q Ф 0. (6.108)
Кроме того, будем считать, что на систему действуют линейные
диссипативные силы и возмущенное движение описывается уравнением (6.50).
Тесрема 2. Равновесие системы, находящейся под действием произвольных
неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил, всегда
неустойчиво.
Доказательство. Уравнения возмущенного движения имеют вид (см. (6.50))
±(Ад)=>В{д)-Вд. (6.109)
Здесь R (q) - произвольная неконсервативная позиционная сила, В -
постоянная неотрицательная, a A (q) - определенно-положительная матрица
(см. § 5.2, б). Рассмотрим функцию
V = Aq-q + -^-Bq-q. (6.110)
Вычислим ее полную производную по времени
V ~-^(Aq)-q + Aq-q + Bq-q. (6.111)
Пользуясь уравнением возмущенного движения (6.109), найдем
р = R-q + Aq-q,
или, принимая во внимание общее определение неконсервативных позиционных
сил (6.15),
К - Aq-q.
На множестве К {q = 0, q Ф 0) производная К = 0, а вне этого множества К
> 0. Кроме того, множество К не содержит целых траекторий, ибо на К
уравнение (6.109) принимает вид
R (q) = о, q ф о,
что невозможно в силу условия (6.108).
7 Д. Р. Меркин
194
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Так как функция V, определенная равенством (6.110), может принимать
положительные значения (например, при q = q), то доказательство теоремы 2
следует из теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения (см. §
2.4).
Примечание 1. Для доказательства не требуется полная диссипация, поэтому
теорема остается справедливой и при отсутствии сил сопротивления.
Примечание 2. Теорема 1 в общем случае не является следствием теоремы 2,
так как входящие в правую часть уравнения (6.105) члены высшего порядка
могут быть образованы другими существенно нелинейными силами.
б. Неконсервативные и потенциальные силы. Перейдем теперь к случаю,
когда на систему действуют одновременно потенциальные и неконсервативные
позиционные силы. Ограничиваясь пока линейным случаем, возьмем уравнения
возмущенного движения в форме (6.45):
" + С0" + Pz = 0. (6.112)
Здесь С() -диагональная, а Р - кососимметричная матрицы. Составим
характеристическое уравнение:
det (EX2 + С0 + Р) = 0.
Так как X содержится в этом определителе только в квадратах, то в
развернутой форме будем иметь
А,21' + a2X2s~2 + ... + а2.,-2^2 4- a2s = 0. (6.113)
В этом уравнении
а2 ~ С1 + • • • + CS! a2s ~ (let (С0 "Ь Р), (6.114)
где Cj, . . ., cs - элементы матрицы Со (см. (6.47)).
Левая часть уравнения (6.113) не изменяется от замены X на -X, поэтому
для устойчивости необходимо, чтобы все корни этого уравнения относительно
X были чисто мнимыми числами, а относительно X2 - вещественными
отрицательными (в противном случае среди корней уравнения (6.113) будут
корни с положительной вещественной частью).
На основании теоремы 1 этого параграфа система без потенциальных сил (при
С0 = 0) неустойчива. Поэтому можно ожидать, что добавление к устойчивой
потенциальной системе неконсервативных сил может в некоторых случаях
разрушить устойчивость. Покажем на примере,
§ 6.8. ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ 195
что неконсервативные позиционные силы могут не только разрушить
устойчивость потенциальной системы, но и стабилизировать неустойчивую
потенциальную систему. Для этого рассмотрим систему с двумя степенями
свободы. Пусть уравнения возмущенного движения приведены к виду
х + сгх - ру = 0, у + С2У + рх = 0. (6.115)
Эти уравнения можно рассматривать как результат наложения на
потенциальную систему
х + схх = 0, у + с2у - 0 (6.116)
неконсервативных сил ру и - рх с кососимметричной матрицей коэффициентов
0 р
- р 0
Составим характеристическое уравнение системы
(6.115)
X2 + ci - Р р X2 + с3
:0.
или, раскрывая определитель,
X4 + (с, + с2)Х2 + схс2 + р2 = 0. (6.117)
Система будет устойчива, если оба корня относительно X2 будут вещественны
и отрицательны. Для этого необходимо потребовать, чтобы коэффициенты и
