Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
А = А (1). (6.98)
Вычислим А (- р) = det (-рВ0 + G). Поменяем в этом определителе строки на
столбцы и наоборот (определитель от этого не изменится). Эта операция
равносильна замене матриц В0 и G на транспонированные:
А (-р) = det (-рЯ0 G) - det (-рВ'л + G').
Учтем теперь, что матрица В0 диагональная, a G кососпмметричная. Поэтому
я; = Л" G = -G'.
190
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Внося эти выражения в А (-(х), получим
Д (- р) - det (- рВ0 - G) =
Вынесем из каждой строки общий множитель -1:
¦\ibl
' ё IS
-ць,
p&i ёи ¦ ?]S
А(-р)-(-1)8 8 и р Ь., .
ё.-il ?$2
или, принимая во внимание равенство (6.97), получим А (-(а) = ( 1)SA (р).
(6.99)
Отсюда следует, что при s четном А (р) содержит р только в четных
степенях, а при s нечетном - в нечетных степенях, т. е.
(s = 2 к),
А (р) = р (а0р + а2р J +... + as_3p2 + as_j) (s = 2к + 1),
(6.100)
где аК - некоторые коэффициенты.
Пользуясь теперь равенством (6.98), ьолучпм
А = а0 + а2 +... + as_2 + a, (s = 2/с),
А = во "Ь а2 "Ь ••• "Ь в8_з + (я --- 2к + 1).
Рассмотрим теперь структуру коэффициентов в*-. Параметр р содержится в
определителе (6.97) множителем элементов, стоящих на главной диагонали.
Поэтому
а0 = bjba . . . b~.
(6.102)
Перейдем к другим коэффициентам я2, я4 и т. д. Возьмем для примера а2.
Этот коэффициент стоит в равенствах (6.100) множителем при р8-2. Такой
множитель может получиться в разложении определителя (6.97), если взять
любые я - 2 элемента главной диагонали и умножить их на минор, который
получается из матрицы G вычеркиванием всех строк и столбцов,
пересекающихся на выбранных элементах. Так, например, если мы возьмем
элементы Ъи Ь2, . . ., Ьч_3, то соответствующий минор будет
0 *_i
1,2,..., S-3 ^
а для элементов Ь3, Ь4, . . ., 7,
А
' S-1, S 0
8*--
С ёи ёл 0
Взяв всевозможные сочетания из s элементов главной диагонали по s - 2
элемента и умножш" их на соответствующие миноры,
" 6.8. ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ
191
получим
Здесь сумма распространена на все сочетания индексов otj,
матрицы G, получающиеся из нее вычеркиванием строк и столбцов с индексами
а1; . . as_,. Эти миноры представляют собой кососимметрцчные определители
второго порядка, и, следовательно, рци не отрицательны. Для коэффициентов
а4, "" и т. д. получим аналогичные суммы, в которых соответствующие
миноры будут иметь четвертый, шестой и т. д. порядок.
В общем случае будем иметь (п - четное число)
(как кососимметричные определители четного порядка).
Пусть теперь все bIt Ьг, . . bs положительны (Н" - определенно-
положительная матрица). Тогда, принимая во внимание (6.102)-(6,104),
получим
Пользуясь равенствами (6.101), найдем А > 0, что доказывает соотношение
(6.87).
Рассмотрим теперь случай, когда все Ь* 0 (Вв - определенно-отрицательная
матрица) и s - четное число. Тогда в равенстве (6Д03) число множителей
будет четное, произведение Ьа^ . . . Ьа
четного числа отрицательных чисел Ьь будет положительно и все
>0 (п = 2, 4, . . ., s). Принимая во внимание, что при четг НОМ *
коэффициент аа ¦> 0, из первого равенства (6.101) найдем А > 0. Это
доказывает соотношение (6.88).
Перейдем теперь к последнему случаю, когда Ьг, . . ., bs отрицательны Hi
- нечетное число. Из равенства (6.102) найдем а0 < 0 (произведение
нечетного числа отрицательных чисел), а из (6.103) и (6.104) получим as_n
< 0 (п = 2, 4, . . ., s - 1). Из второго равенства (6.101) следует А <0,
что доказывает соотношение (6.89).
Осталось доказать соотношение (6.86). Но оно следует из только что
доказанных неравенств (6.87)-(6.89).
§ 6.8. Влияние на устойчивость равновесия
неконсервативных позиционных сил
а. Однц неконсервативные позицион-ц ы е силы. Рассмотрим сначала
случай, когда движение системы происходит под действием одних
неконсервативных сил.
Теорема 1. Равновесие системы, находящейся под действием одних линейных
неконсервативных позиционных
. . . , а5_, из 1, 2, . . . , s, а A0>,...,ag_., - диагональные миноры
as-n 51 ''' ^as_n ^
"l "а_7Г
(6.103)
где
А,
>0
(6.104)
"о > 0, as_n >0 (и = 2, 4, . . .).
192
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
сил, всегда неустойчиво независимо от членов высшего порядка.
Доказательство. В условиях теоремы уравнения возмущенного движения можно
привести к виду (6.45), где 5 = G = С" = 0:
" + Ря = Х- (6.105)
Здесь Р - кососимметричная матрица, Z - матрица-столбец, элементы которой
содержат zv и ik в степени выше первой, причем они обращаются в нуль,
когда все zk и z,; равны нулю.
Рассмотрим характеристическое уравнение
А (X) = det (EX2 + Р) = 0. (6.106)
Из устойчивости системы (6.79) относительно скоростей следует, что не
равные нулю корни уравнения (6.85)
det (EX2 4- GX) = Xs det (EX + 6) = 0
будут чисто мнимыми числами. Это означает, что отличные от нуля корни
уравнения
А (X) = det (EX + G) = 0 (6.107)
имеют вид X = + ai, где а - положительное вещественное число 4).
Уравнение (6.106) получается из уравнения (6.107) простой заменой X на X2
(матрица Р, так же как и G, кососимметричная). Поэтому не равные нулю
