Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
исходной нелинейной системы.
.6. Гироскопические и диссипативные силы. Прежде чем перейти к
исследованию влияния диссипативных сил, приведем один результат теории
определителей, который понадобится нам и в других разделах
(доказательство будет приведено в конце параграфа).
Пусть даны две квадратные матрицы одного порядка s: одна матрица В0 -
знакоопределенная диагональная и вторая G - кососимметричная. Составим
определитель А матрицы BQ + G:
А = det (В0 + G).
Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Матрица В0 + G неособенная, т. е.
А = det (В0 + G) Ф 0. (6.86)
2. Если матрица В0 определенно-положительна, то
А = det (В0 + G) > 0. (6.87)
§ 6.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ
187
3. Если матрица В0 определенно-отрицательна, то
при s четном Д = det (В0 + G) > 0, (6.88)
при s нечетном А = det (В0 + G) <С 0. (6.89)
Рассмотрим теперь влияние диссипативных сил. Теорема 3. Если помимо
гироскопических сил действуют силы полной диссипации, то равновесие
системы асимптотически устойчиво относительно скоростей и просто
устойчиво относительно координат [38].
Доказательство. Приведем уравнения возмущенного движения к виду (6.46),
учтя, что по условию теоремы имеются только гироскопические и
диссипативные силы,
* + Boz + Gz - 0. (6.90)
В этом уравнении G - кососимметричная, а В0 - определенно-положительная
диагональная матрицы (так как диссипация является полной). Умножим обе
части этого уравнения на матрицу z:
z ¦ z + Бо" •" + Gz •z - 0
или, преобразуя первое слагаемое и принимая во внимание, что для
кососимметричной матрицы Gz-z =0, будем иметь
В развернутой форме это равенство имеет вид
~2 (^1 + • • • + Zg) - - (felZj +...-)- bsZg).
1 1
Функция V = -у- z • к - -у (z\ + ... + zt) удовлетворяет
всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости - она
определенно-положительна относительно скоростей zk и ее полная
производная по времени в силу уравнения возмущенного движения (6.90)
является определенно-отрицательной функцией тех же величин %к (по условию
теоремы диссипация полная и, следовательно, все Ьк > 0). Таким образом,
движение асимптотически устойчиво относительно скоростей гк.
Перейдем к доказательству второй части теоремы. Проинтегрируем уравнение
(6.90) один раз по времени:
# + (50 + G)z = П, (6.91)
188
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
где постоянная матрица I) определена равенством
2> = *0 + (Д0 + G)#o. (6.92)
Согласно равенству (6.86) матрица В0 + G неособенная, вследствие чего
существует обратная матрица (В0 +G)"1. Введем новую переменную матрицу у,
определив ее равенством
г = у + (В 0 + Gf'D. (6.93)
После подстановки в уравнение (6.91) получим
у + (В0 + G) у + (В0 + G)"'(fi0 + G)D=I)
или, учитывая, что (В0 + б?)-1 (В0 -J- G) D - 2>,
у + (Д0 + G) у = 0. (6.94)
Согласно первой части теоремы, движение асимптотически устойчиво
относительно скоростей к. Из совпадения форм уравнений (6.90) и (6.94)
следует, что движение асимптотически устойчиво относительно у. На
основании равенств (6.93) и (6.92) заключаем, что движение устойчиво (но
не асимптотически) относительно координат ".
Примечание. Теорема остается справедливой и в нелинейной постановке
задачи [36, 38].
Пример. Исследование устойчивости движения электрона в постоянном
магнитном поле. Если m - масса электрона, е - его заряд, Н -
напряженность магнитного поля, с - электродинамическая постоянная, равная
скорости света (с = 3 -1010 см/сек), то уравнение движения электрона при
Н = const будет
dv е
m~dr = ~(-vxH'>' (6-95)
где v - вектор скорости электрона [48].
Запишем это уравнение через проекции на оси неподвижной системы
координат:
I j U
х у Z = 0.
гп ¦
dv е
dt с
Отсюда найдем
Их Hv Н2
§ 6.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ
189
В этих уравнениях матрица сил, линейно зависящих от скоростей ±, у, z,
кососимметричная. Следовательно, эти силы гироско-йические. Так как
другие силы отсутствуют, то на основании теоремы 1 этого параграфа
заключаем, что невозмущенное движение электрона устойчиво относительно
скоростей х, у, z, а на основании следствия теоремы 2 оно неустойчиво
относительно совокупности всех координат х, у, z (так как число координат
равно трем).
Если ось z направить параллельно вектору Н, то Нх = О, Hv = О, = Я и
уравнения (6.96) примут вид
тх
¦Яу = О,
ту +-т'г
Hi
= 0, = 0.
Рассмотрим первые два уравнения отдельно (они не зависят от третьего
уравнения). Определитель матрицы гироскопических коэффициентов для этих
уравнений
0
н
отличен от нуля, поэтому, согласно теореме 2, движение электрона
устойчиво относительно координат х н у. Что же касается координаты z,'то
из третьего уравнения имеем z = z0t -|- z0, откуда сразу видна
неустойчивость по этой координате.
В заключение этого параграфа докажем соотношения (6.86)-(6.89).
Введем вспомогательный параметр р и составим определитель
pbi *12 • ^18
А (р) = det (рВ0 + G) = ё'Л рЬ2 . #2S
&S2 . рб
Очевидно, что искомый определитель А получается из А (р) при р = 1:
