Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда, учитывая, что для кососимметричной матрицы G имеет место равенство
Gz-z =0 (см. формулу (5.25)), получим
z-z = 0
или, интегрируя,
~2~ * • * = ~2~ (zi + z2 -f- ... -f- zf) - h, (6.8 >)
где h - постоянная интегрирования.
1
Функция V = ~2~ " • z удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об
устойчивости движения (она определенно-положительна и ее полная
производная по времени в силу уравнений возмущенного движения
тождественно равна нулю (см. § 2.2)), что доказывает теорему.
Примечание. Теорема доказана для линейной автономной системы, но она
справедлива й для линейной неавтономной системы, когда гироскопическая
матрица G зависит явно от времени (равенство Gz-z - 0, на котором
базируется доказательство теоремы, справедливо для любой кососимметричной
матрицы, зависящей явным образом от времени), а также для нелинейной
системы (см. статью В. В. Румянцева [45]).
Устойчивость равновесия определяется, конечно, не только устойчивостью в
скоростях, но и устойчивостью
184
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
в координатах. Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные
условия устойчивости системы (6.51) относительно совокупности координат и
скоростей.
Теорема 2. Для того чтобы равновесие линейной автономной системы,
находящейся под действием одних гироскопических сил, было устойчивым
относительно координат, необходимо и достаточно, чтобы определитель
матрицы гироскопических сил не равнялся нулю (38].
Доказательство. Докажем вначале, что если det G Ф О, то невозмущенное
движение z = О, " = О устойчиво относительно координат z (устойчивость
относительно скоростей доказана предыдущей теоремой при любом значении
det G). Проинтегрируем уравнение (6.79) один раз но времени
z+Gz = D, (6.81)
где D - постоянная интегрирования матрица-столбец определена равенством
D = s0 -f Gz0. (6.82)
Перейдем к новой переменной матрице у по формуле е = у + G~lD (6.83)
(так как по условию матрица G неособенная, то обратная матрица G-1
существует). После подстановки в уравнение (6.81) получим
у + Gy + GG~1JD - D или, учитывая тождество GG~lD = ED - D,
у + Gy = 0. (6.84)
Согласно теореме 1 этого параграфа, движение устойчиво относительно
скоростей z. Из совпадения форм уравнений (6.79) и (6.84) следует, что
движение устойчиво относительно у. На основании равенств (6.82) и (6.83)
заключаем, что движение устойчиво относительно координат z (при
достаточно малых по модулю z0 и z0 элементы' матрицы D будут также малы).
Докажем теперь необходимость условия теоремы. Для этого достаточно
показать, что при det G - 0 система неустойчива. Составим
характеристическое уравнение
§ 0.7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ
185
для дифференциального уравнения (6
A=det(?W + GX) -
к2 gl<X . .
g-ifk к2 . .
,k 8.Л
79):
S\$k
gisk
I2
(6.85)
Вынесем из каждой строки общий множитель X:
к #12 • • • 8ls
д- Xs к ... 8:s = 0
&S1 gs2 • ¦ • к
и разложим полученный определитель по
А - Xs (Xе + . . . + as) = 0.
Очевидно, что
0 *12 • * • 8 is
as - -- det G.
еп 8si ... 0
Из условия det G = 0 и последних двух равенств следует, что уравнение
(6.85) имеет не менее s + 1 нулевых корней.
Перейдем теперь к исследованию элементарных делителей характеристической
матрицы (см. § 5.3)
к2 gnk . . . glsk g2lk к2 .. . g2sk
8siX 8sik ...к2
Обозначим через D1; общие наибольшие делители всех миноров к-то порядка.
Очевидно, что Dl = X, D2 делится на X2, Dз делится на X3 и т.д. (так как
все элементы этой матрицы имеют общий множитель X). Поэтому все
инвариантные множители
Е*=--ТГ^ (к = 1, 2,..., s; Do = 1)
R-1
делятся на X, т. е. каждый инвариантный множитель Ек(Х) имеет по крайней
мере один нулевой корень. Воспользуемся формулой (5.28):
И det F {X) = Ех {X) Ег(Х) Е, (X),
186
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Так как число нулевых корней левой части не менее s + 1, а в правой части
имеется s инвариантных множителей Eif (X), то хотя бы один из них
содержит нулевой корень кратности больше первой. Это доказывает
неустойчивость системы (см. § 5.4 с. 146).
Следствие. Если на систему действуют только гироскопические силы и она
имеет нечетное число координат, то равновесие такой системы всегда
неустойчиво (если s - нечетное число, то det G тождественно равен нулю
(см. § 5.2, с. 129)).
Примечание 1. Так как невозмущенное движение устойчиво относительно
скоростей при любом значении det G, то из доказательства неустойчивости
системы следует, что при det G = 0 система теряет устойчивость только в
координатах.
Примечание 2. Если det G Ф 0, то характеристический определитель системы
имеет ровно s нулевых корней. Из устойчивости системы следует, что эти
корни простые для элементарных делителей.
Примечание 3. Уравнение (6.79) во многих случаях представляет уравнение
первого приближения нелинейной системы, на которую действуют только
гироскопические силы. Конечно, из устойчивости движения при det G Ф О,
определяемого уравнением первого приближения, не следует устойчивость
