Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 61

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 101 >> Следующая

кольца К, в котором установлен гироскоп) должна быть тоже неустойчивой.
Для этой цели к верхней части кольца прикрепляют грузик L. Таким образом,
система имеет две неустойчивые координаты ф и й и гироскопическая
стабилизация в принципе может быть осуществлена.
Учтем теперь силы сопротивления, возникающие при колебаниях вагона и
кольца с гироскопом (эти силы возникают за Счет сопротивления среды и
трения в опорах). Согласно четвертой теореме Томсона - Тета - Четаева,
эти силы разрушат гироскопическую стабилизацию (так как без гироскопа
система неустойчива). Поэтому для стабилизации необходимо ввести силы
другой природы. С этой целью на оси N - N вращения кольца К
устанавливалось специальное электромагнитное устройство (на рисунке оно
не показано), которое создавало ускоряющий момент к2$, действующий в
сторону вращения кольца и пропорциональный угловой скорости вращения его
(в теории колебаний такие моменты и силы называются отрицательным
трением).
Установив с помощью теорем Томсона и Тета характер сил, которые должны
обеспечить устойчивость однорельсового гироскопического вагона, перейдем
к количественному анализу. Для
этого воспользуемся дифференциальными уравнениями возмущенного движения
системы (эти уравнения без труда составит читатель, воспользовавшись
уравнениями Лагранжа II рода или уравнениями моментов (см. также [42])):
Рис. 6.5
где
/схф - НЬ - Схф = Y,
•42Й - fcgft "Ь - с2(r) = (r)>
Ах = / + (М + М0)а2 + А + С0,
А2 = А0 + А, Cl = P-с, с2 = р-Ъ.
(6.74)
(6.75)
Здесь А о и С о - моменты инерции кольца, М0 - его масса, А -
экваториальный момент инерции гироскопа, М - его масса, 1 - момент
инерции вагона относительно оси рельса, Р - вес вагона, р - вес
добавочного грузика L, Н - кинетический момент гироскопа,. кг -
коэффициент сил сопротивления, действующих на вагон, к2 - крутизна
характеристики устройства, создающего ускоряющую силу fc2d; значения
постоянных а, 6 и с видны из рис. 6.5 (G - центр тяжести всей системы,
исключая грузик L), V и 8 - нелинейные члены.
Уравнения (6.74) можно рассматривать как результат наложения на
неустойчивую потенциальную систему
А^ - схф = О, А2$ - С2& = О
182
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
гироскопических сил - Яд и Н\р, диссипативной силы /^ф, ускоряющей силы -
к.,Ь и нелинейных сил 'Р и 0 соответственно. Составим характеристическое
уравнение
Аг№ + клХ - с, - НХ
f- к^к ¦ НХ
А,ХЪ - к,Х -
: О
где
или, раскрывая определитель и группируя члены, д3А,4 д^А,** -{- а2Х^
И" &$Х 4- д4 = О,
До - -^1-^2" " к^А2 /с2.Д4,
д2 - Я2 с2А^ - с^А2 - к^к2^
Д3 = к2С± ¦ к±С2, #4 ~ с1с2*
(6.76)
(6.77)
Воспользуемся критерием Гурвица (4.32) для системы четвертого порядка (до
> 0):
д4 >0, д2 > 0, д3 >0, д4 > 0,
Д3 " д4д2д3 а3д3 д4д4 0.
В нашем случае условия д0 > 0 и д4 > 0 выполняются автоматически, а
условие д2 > 0 следует из неравенства А3 > 0.
Подчиняя с помощью формул (6.77) параметры системы оставшимся условиям
(д4 >0, д3 > 0, Д3 > 0), легко найдем
-Гк 1<*2< п
А,
Ai
кх,
Ю '> г- A j -]- С]. С -j- A' j 1\~2
AlA2 (k.Ci - V42 4- cic-2 (k\A., - k,A^ (k^i - кусА) [кiА., - кА,)
(6.78)
Первое условие устанавливает пределы для крутизны к2 характеристики
устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет
нижнюю границу кинетического момента Я. Так как при выполнении условий
(6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные
вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об
устойчивости по первому приближению однорельсовый вагон асимптотически
устойчив независимо от членов высшего порядка 7 и в.
Из формул (6.77) видно, что при к2 < 0 (вместо ускоряющего момента
имеется обычная сила сопротивления) коэффициент д3 будет отрицателен и
система в соответствии с четвертой теоремой Томсона - Тета - Четаева
сделается неустойчивой 1).-
4 Во многих вузах имеются модели однорельсового гироскопического вагона.
При демонстрации необходимо следить за тем, чтобы грузик кольца занимал
верхнее вертикальное положение; при колебаниях кольца нужно слегка
подталкивать его в сторону движения, имитируя ускоряющее устройство.
§ 6,7. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ 183
§ 6.7. Устойчивость равновесия под действием
одних гироскопических и диссипативных сил. Пример
До сих пор рассматривались системы, в которых Диссипативные и
гироскопические силы действовали вместе с потенциальными силами. Между
тем в приложениях встречаются системы, в которых диссипативные и
гироскопические силы действуют без потенциальных сил. Изучению
устойчивости таких систем посвящен этот параграф.
а. Одни гироскопические силы. Рассмотрим вначале случай, когда на систему
действуют только гироскопические силы, считая, что уравнения возмущенного
движения приведены к форме
* + Gz = 0. (6.79)
Теорема 1. Равновесие системы, на которую действуют одни гироскопические
силы, всегда устойчиво относительно скоростей [38].
Доказательство. Умножим справа обе части уравнения (6.79) на матрицу z.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed