Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
при ф = л/2 и уходящую на бесконечность при ф л.
Точное уравнение (12.70) может быть записано в виде
dp/dy = (1/А2—P2-Lap3)1/2 = (1 /А) (1 —о2),/2, (12.72)
где вместо р мы ввели новую переменную
a = Ap (1 — ар)'/2. (12.73)
Поскольку ар — малая величина, можно записать
a = Ap (I — ар/2); Ap = а (I -f ар/2) = 4? (1 + аа/2А). (12.74)
Следовательно, Mp = do (1 4- аа/А), и из (12.72) р с
i' Adp С" da (1 -f-асг/Ді а „ a лп
Ф= I-------lTTT= \ —------------------------------— = arcsin (Т-п_а2\1/2 р —. (12.75)
J (і-а*)1/2 J (1 — о2) А К ^ А
о4 ' о ' '
В соответствии с (12.72) максимальное значение рт, т. е. наибольшее приближение к Солнцу, соответствует сг= 1. Соответствующее значение ф при этом равно
Фт = л/2 + а/А. (12.76)
Следовательно, в изображении на евклидовой плоскости траектория будет представлять теперь слегка искривленную линию с отклонением:
я|з = 2 (фте—я/2) = 2а/Д. (12.77)
Это — отклонение луча света, наблюдаемое с [Земли, которая считается бесконечно далекой от Солнца. Из (12.74) находим соответствующее максимальное значение рт
рт = (1/Д)(1+«/2А).
12* 35С
Пренебрегая членами второго порядка малости по а, из (12.77) имеем
¦ф — 2арт = 2а/rm = AkM/с2 гт. (12.78)
Для луча света, касающегося края солнечного диска, из (12.4), (12.5) и (12.78) получим значение отклонения, равное 1,75. Этот эффект, предсказанный Эйнштейном, был проверен экспериментально во время наблюдения полного солнечного затмения по отклонению от звезд света, идущего вблизи Солнца. Соответствие между формулой Эйнштейна (12.77) и данными наблюдений казалось удовлетворительным [40, 41], но поскольку лишь небольшое число наблюдений указывают на эффект, лежащий как раз в границах экспериментальных погрешностей, то нельзя придавать слишком большое значение количественному согласию. В частности, нельзя проверить (1/г)-зависимость эффекта отклонения. С другой стороны, можно с определенностью утверждать, что отклонение света не равно минимальному значению 0,87", которое получается, если пренебречь искривлением физического пространства вблизи Солнца.
Отклонение света (12.77) частично обязано изменению скорости света с*, а частично — искривлению физического пространства — времени. Если считать пространственную геометрию евклидовой, то уравнение (12.69) необходимо заменить уравнением
^ + /-V=L (12.79)
И тогда вместо (12.70) мы получим уравнение
(dp/dtp)2 = 1/Л2 (1 — ар) — р2,
интегрирование которого с точностью до первого порядка по а дает отклонение
г|) = а/А, (12.80)
т. е. только половину значения (12.77).
С другой стороны, если скорость света считать постоянной и равной с, а для описания пространственной геометрии взять метрический тензор Yftv из
(12.36) и (12.37), то траектория светового луча будет «прямейшей» линией. В этом случае уравнения (12.68) и (12.70) заменяются уравнениями
r2<p = Cc; (dp/dtp)2 = (1—ар) (1/А2 — р2)
соответственно. Интегрирование этих уравнений дает тогда значение отклонения
¦ф = а/А (12.81)
в первом порядке по а. Складывая оба эффекта (12.80) и (12.81), вновь возвращаемся к формуле Эйнштейна (12.77),
§ 12.4. Дальнейшие проверки общей теории относительности
В гл. 10 мы видели, что гравитационное поле в рамках общей теории относительности, в отличие от теории тяготения Ньютона, должно влиять на характер любых физических процессов. Поэтому в принципе должно существовать бесконечное число явлений, по которым можно проверить утверждение ОТО. Практически, однако, влияние гравитационного поля оказывается в большинстве случаев пренебрежимо малым.
Шапиро [2271 предложил новый способ проверки ОТО, основанный на измерении запаздывания радарных сигналов в пределах Солнечной системы, вызванного изменением скорости распространения радиолокационного сигнала
с* = с(1+2х/с2)*/’ (12.82)
356
и неевклидовостью пространства в пределах Солнечной системы. Была предложена идея произвести радиолокацию Меркурия и Венеры и измерить время задержки эхосигнала при различных положениях планет. Если положение планет таково, что сигнал будет проходить вблизи Солнца, то задержка его окажется, в соответствии с выводами ОТО, настолько большой, что измерение ее становится вполне доступным для современной техники.
Расчет этого эффекта наиболее удобно проводить в гармонических координатах (уравнения а, б на стр. 317). Записывая г вместо р, в первом порядке по а/r имеем
Tjiv — ?uv — (1+«//") ^Vv; 4 — Oi
1 + 2 х/с2 = — g44 = 1 — а/г.
При подсчете времени запаздывания искривлением траектории можно пренебречь, так как этот эффект дает вклад лишь второго порядка по а/r. При надлежащем выборе осей координат траекторию сигнала от Земли до планеты можно записать в виде
у = A = const, 2 = 0, г=(х2-}-у2У/г, (12.84)
где Д — наименьшее расстояние от луча до Солнца. (Это Д отличается от Д в § 12.3 на а/2 = 1,5- IO3 м вследствие отличия г в координатах Шварцшильда от г в гармонических координатах). В соответствии с (12.83) для бесконечно малого участка траектории (12.84) имеем
